Otwórz menu główne

Otoczenie (matematyka)

matematyka

Definicja otoczenia punktuEdytuj

 
Zbiór   na płaszczyźnie jest otoczeniem punktu   jeżeli istnieje koło (bez brzegu) zawierające   i zawarte w  

Niech   jest elementem przestrzeni topologicznej   Zbiór   jest otoczeniem punktu   gdy istnieje zbiór otwarty   dla którego

 

Innymi słowy, zbiór   jest otoczeniem punktu   jeśli   gdzie   oznacza wnętrze zbioru  [1].

Uwaga 1: Otoczenie punktu nie musi być zbiorem otwartym – wystarczy, że zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt. W szczególności, otoczenie może być zbiorem domkniętym, zwartym itd. Otoczenia takie nazywamy odpowiednio otoczeniem otwartym, domkniętym, zwartym itp.

Uwaga 2: Należy zwracać uwagę na konwencje stosowane przez różnych autorów. Niektórzy z nich za otoczenia punktu przyjmują wyłącznie zbiory otwarte zawierające dany punkt[2]. W stosowanej tu terminologii otoczenia takie nazywamy otoczeniami otwartymi.

Definicja otoczenia zbioruEdytuj

Niech   jest podzbiorem   Otoczeniem zbioru   jest zbiór zawierający zbiór otwarty, który zawiera   W szczególności, otoczenie zbioru jest otoczeniem każdego punktu tego zbioru

Inaczej mówiąc suma otoczeń wszystkich punktów zbioru jest jego otoczeniem.

Otoczenia w przestrzeniach metrycznychEdytuj

W przestrzeni metrycznej   z metryką   otoczenie punktu można określić za pomocą kul otwartych.

Definicja otoczenia punktuEdytuj

  jest otoczeniem punktu   jeśli istnieje kula otwarta o środku w punkcie   i promieniu   tj.

 

która jest zawarta w zbiorze  

Definicja otoczenia jednostajnego zbioruEdytuj

 
Zbiór   na płaszczyźnie i jednostajne otoczenie   zbioru  

Otoczeniem jednostajnym zbioru   w przestrzeni metrycznej nazwiemy zbiór   o tej własności, że istnieje taka liczba   że dla każdego   kula otwarta o środku w punkcie   i promieniu   tj.

 

jest zawarta w zbiorze  

Innymi słowy, zbiór   jest sumą wszystkich kul o ustalonym promieniu i środkach w punktach zbioru  

System otoczeń a topologiaEdytuj

Jeżeli dla każdego punktu   zbioru   dana jest pewna rodzina   podzbiorów   zbioru   spełniająca warunki:

  1. dla każdego   mamy, że  
  2. dla dowolnego   istnieje takie   że   dla wszelkich  

to fakt ten można wykorzystać do określenia topologii w zbiorze   zbiór otwarty definiuje się jako zbiór, który wraz z każdym swoim punktem   zawiera również pewien zbiór z rodziny  

Otoczenie jako pojęcie pierwotne aksjomatykiEdytuj

Pierwsza aksjomatyka przestrzeni topologicznej, podana przez Hausdorffa, była oparta na pojęciu otoczenia.

Definicja. Przestrzenią topologiczną nazywamy parę   złożoną ze zbioru   oraz rodziny

 

zbiorów   których elementami są podzbiory (zwane otoczeniami elementu  ) zbioru   spełniające następujące aksjomaty:

  1. Każde otoczenie   zawiera   oraz zbiór   jest otoczeniem każdego swojego punktu.
  2. Każdy zbiór zawierający jakieś otoczenie   jest także otoczeniem  
  3. Przecięcie dowolnej pary otoczeń   jest także otoczeniem  
  4. W każdym otoczeniu   zawarte jest takie otoczenie   które jest zarazem otoczeniem każdego swojego punktu[3].

Otoczenie a sąsiedztwoEdytuj

W klasycznej analizie matematycznej korzysta się czasem z pojęcia sąsiedztwa punktu, które oznacza otoczenie punktu z wyłączeniem jego samego. Zatem jeżeli   jest otoczeniem punktu   to zbiór

 

jest sąsiedztwem punktu  

Przykłady otoczeń otwartychEdytuj

  • Na prostej rzeczywistej   z topologią euklidesową otoczeniem otwartym punktu   jest np. dowolny przedział otwarty   zawierający ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku koła), tj.   Sąsiedztwem punktu   jest ten przedział bez punktu   tj.  
  • Na płaszczyźnie euklidesowej   otoczeniem otwartym punktu   jest np. dowolne koło bez brzegu zawierające ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku koła), zaś jego sąsiedztwem jest to koło bez tego punktu.
  • W przestrzeni euklidesowej   otoczeniem otwartym punktu   jest np. dowolna kula bez brzegu zawierająca ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku kuli), zaś jego sąsiedztwem jest kula bez tego punktu.

PrzypisyEdytuj

  1. Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: PWN, 1962, s. 109.
  2. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009, s. 73.
  3. Klaus Jänich: Topologia (tłum. z jęz. niem.). Warszawa: PWN, 1991, s. 14, 15.