Modularność

Modularność – własność obiektów algebraicznych pierwotnie zaobserwowana w teorii grup przez Richarda Dedekinda, stąd znana też jako prawo modularności Dedekinda^[a], a następnie przeniesiona na grunt teorii pierścieni i teorii modułów^[1]. Naturalnym kontekstem okazała się jednak teoria krat – kraty spełniające tę własność nazwano kratami modularnymi.

Grupy, pierścienie i moduły

Osobny artykuł: krata podgrup.

Dla dowolnych podgrup $A,B,C$ danej grupy, dla których $A\leqslant C$ ( $A$ jest podgrupą $C$ ), zachodzi własność modularności

AB\cap C=A(B\cap C),

gdzie mnożenie (oznaczone przez zestawienie) oznacza iloczyn kompleksowy; w notacji addytywnej z kolei własność tam ma postać

(A+B)\cap C=A+(B\cap C),

przy czym dodawanie $A+B$ oznacza grupę generowaną przez $A\cup B.$

W tej postaci jest ona prawdziwa dla pierścieni, czy modułów, gdy $A,B,C$ oznaczają ideały danego pierścienia lub podmoduły ustalonego modułu (przy założeniu $A$ jest ideałem/podmodułem $C;$ $A+B$ oznacza ideał/moduł generowany przez $A\cup B$ )^[b]^[c]. Wszystko co dotyczy modułów przenosi się bez zmian na przestrzenie liniowe.

Kraty

Dla krat własność tę można przedstawić w postaci tożsamości: dla dowolnych elementów $a,b,c$ zachodzi

((a\wedge c)\vee b)\wedge c=(a\wedge c)\vee (b\wedge c).

Można ją wyrazić w słabszej postaci jednego z aksjomatów rozdzielności: dla elementów $a,b,c,$ przy czym $a\leqslant c,$ zachodzi

(a\vee b)\wedge c=(a\wedge c)\vee (b\wedge c)=a\vee (b\wedge c).

Sformułowania są równoważne, gdyż $a\leqslant c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a\wedge c=a.$ Jest to w istocie postać opisana w poprzedniej sekcji dla struktur algebraicznych.

Ponieważ w dowolnej kracie prawdziwa jest nierówność

((a\wedge c)\vee b)\wedge c\geqslant (a\wedge c)\vee (b\wedge c),

jako że tak $(a\wedge c)\vee b,$ jak i $c$ są większe lub równe od $a\wedge c$ oraz $b\wedge c,$ to prawo modularności jest równoważne

((a\wedge c)\vee b)\wedge c\leqslant (a\wedge c)\vee (b\wedge c).

Kraty rozdzielna, projektywna, czy metryczna są kratami modularnymi.

Przykłady

Wśród przykładów krat modularnych można wymienić kraty podgrup normalnych (permutowalnych/quasi-normalnych)^[d] danej grupy, krata podprzestrzeni danej przestrzeni liniowej (podprzestrzeni danej przestrzeni rzutowej), krata ideałów danego pierścienia, czy krata podmodułów danego modułu. We wszystkich tych przypadkach porządkiem częściowym w tych kratach jest zawieranie. Kres dolny to część wspólna zbiorów, zatem kres dolny dowolnej liczby elementów zawsze istnieje; kres górny dowolnego zbioru $X$ elementów definiuje się jako $\bigvee X=\bigcap \ \{y\colon x\subseteq y\ \mathrm {dla\,wszystkich} \ x\in X\}.$ W języku algebraicznym kres dolny to podgrupa, podprzestrzeń, ideał lub podmoduł generowane przez wszystkie elementy należące do sumy $\bigcup X.$

Niech $G$ będzie grupą, a $H$ oraz $K$ jej dwiema podgrupami zawartymi jedna w drugiej, dla których $H\leqslant K\leqslant G.$ Jeżeli $N$ jest podgrupą normalną w $G,$ to $NH=KN$ oraz $H\cap N=K\cap N,$ pociągają $H=K.$ Z prawa modularności wynika bowiem $H=H(H\cap N)=H(K\cap N)=K\cap NH=K\cap KN=K;$ założenie normalności $N$ jest niezbędne w celu zagwarantowania, że $NH=KN$ ma strukturę grupy (jako iloczyny półproste).

Zobacz też

Uwagi

↑ Kronecker „modułami” nazywał podgrupy grup abelowych; zob. moduł: Motywacja.
↑ W notacji addytywnej (grupy przemienne, pierścienie lub moduły): niech $(A+B)\cap C=A+(B\cap C);$ ponieważ $A\subseteq A+(B\cap C)=(A+B)\cap C\subseteq C,$ to $A\subseteq C.$
Odwrotnie: niech $A\subseteq C.$ Jeśli $x\in (A+B)\cap C,$ to $x\in C$ i istnieją takie $b\in B,a\in A,$ że $x=a+b.$ Wówczas $b\in B$ oraz $b=-a+x\in A+C=C$ (ponieważ $A\subseteq C$ ), więc $b\in (B\cap C).$ Stąd $x=a+b\in A+(B\cap C),$ a zatem $(A+B)\cap C\subseteq A+(B\cap C).$ Zawieranie przeciwne: jeśli $x\in A+(B\cap C),$ to istnieją wtedy takie $y\in B\cap C$ oraz $a\in A,$ że $x=a+y.$ Wtedy $x\in C,$ ponieważ $y\in C,a\in A\subseteq C,$ a więc $a+y\in C.$ Skoro zaś $y\in B,a\in A,$ to $x=a+y\in A+B.$ Dlatego $x\in (A+B)\cap C,$ co dowodzi $A+(B\cap C)\subseteq (A+B)\cap C.$
↑ O konieczności założenia $A\leqslant C$ przekonuje następujący przykład: niech $D=2\mathbb {Z} \leqslant \mathbb {Z}$ oraz $A=4\mathbb {Z} ,B=10\mathbb {Z} ,C=6\mathbb {Z} ,$ wtedy $(A+B)\cap C=D\cap C=C$ oraz $A+(B\cap C)=A+30\mathbb {Z} =D,$ przy czym $C\neq D.$
↑ Dowolna podgrupa grupy przemiennej (abelowej) jest normalna.

Przypisy

↑ Niem. Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen (1864), fr. Sur la théorie des nombres entiers algébriques (1877), „O teorii algebraicznych liczb całkowitych” Dedekinda.

[1] Kronecker „modułami” nazywał podgrupy grup abelowych; zob. moduł: Motywacja.

[3] W notacji addytywnej (grupy przemienne, pierścienie lub moduły): niech $(A+B)\cap C=A+(B\cap C);$ ponieważ $A\subseteq A+(B\cap C)=(A+B)\cap C\subseteq C,$ to $A\subseteq C.$
Odwrotnie: niech $A\subseteq C.$ Jeśli $x\in (A+B)\cap C,$ to $x\in C$ i istnieją takie $b\in B,a\in A,$ że $x=a+b.$ Wówczas $b\in B$ oraz $b=-a+x\in A+C=C$ (ponieważ $A\subseteq C$ ), więc $b\in (B\cap C).$ Stąd $x=a+b\in A+(B\cap C),$ a zatem $(A+B)\cap C\subseteq A+(B\cap C).$ Zawieranie przeciwne: jeśli $x\in A+(B\cap C),$ to istnieją wtedy takie $y\in B\cap C$ oraz $a\in A,$ że $x=a+y.$ Wtedy $x\in C,$ ponieważ $y\in C,a\in A\subseteq C,$ a więc $a+y\in C.$ Skoro zaś $y\in B,a\in A,$ to $x=a+y\in A+B.$ Dlatego $x\in (A+B)\cap C,$ co dowodzi $A+(B\cap C)\subseteq (A+B)\cap C.$

[4] O konieczności założenia $A\leqslant C$ przekonuje następujący przykład: niech $D=2\mathbb {Z} \leqslant \mathbb {Z}$ oraz $A=4\mathbb {Z} ,B=10\mathbb {Z} ,C=6\mathbb {Z} ,$ wtedy $(A+B)\cap C=D\cap C=C$ oraz $A+(B\cap C)=A+30\mathbb {Z} =D,$ przy czym $C\neq D.$

[5] Dowolna podgrupa grupy przemiennej (abelowej) jest normalna.

[2] Niem. Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen (1864), fr. Sur la théorie des nombres entiers algébriques (1877), „O teorii algebraicznych liczb całkowitych” Dedekinda.

[a]

[1]

[b]

[c]

[d]