Liczba Liouville’a

typ przestępnych liczb rzeczywistych

Liczba Liouville’aliczba rzeczywista o takiej własności, że dla dowolnej liczby naturalnej istnieją liczby całkowite oraz takie że:

Intuicyjnie oznacza to, że dowolną liczbę Liouville’a można „dobrze” aproksymować liczbami wymiernymi. Liczby Liouville’a noszą swą nazwę na cześć Josepha Liouville’a, który wprowadził je w roku 1844 i pokazał, że są one liczbami przestępnymi. Był to pierwszy dowód istnienia liczb przestępnych, co więcej konstruktywny, czyli podający algorytm ich uzyskiwania.

Przykłady. Stała Liouville’a

edytuj

Liczby postaci

 

gdzie   jest dowolną liczbą naturalną większą od 1, są liczbami Liouville’a. Dla dowodu określmy   i   następująco:

 

Wówczas dla wszystkich   naturalnych

 

co spełnia warunki definicji.

Liczba

 

nosi nazwę stałej Liouville’a.

Podstawowe własności

edytuj

Równoważną definicję liczby Liouville’a otrzymamy, przyjmując, że dla dowolnego   istnieje nieskończenie wiele par liczb całkowitych   dla których spełniona jest powyższa nierówność.

Niewymierność liczb Liouville’a

edytuj

Nietrudno wykazać, że jeśli   jest liczbą Liouville’a, to jest liczbą niewymierną. Gdyby tak nie było, istniałyby liczby całkowite   i   dla których mielibyśmy   Niech   oznacza taką liczbę naturalną, że   Wówczas, jeśli   i   są dowolnymi liczbami całkowitymi, takimi że   i   to

 

co jest sprzeczne z określeniem liczby Liouville’a.

Własności miarowe zbióru liczb Liouville’a

edytuj

Wykażemy, że zbiór   liczb Liouville’a jest miary zero Lebesgue’a. Dowód przedstawiony poniżej jest oparty na rozumowaniu, które podał Oxtoby[1]. Dla liczb naturalnych   oraz   połóżmy:

 

Zauważmy, że dla każdych liczb naturalnych   i   mamy

 

Oczywiście,   Pamiętając, że   można również wykazać, że

 

Ponieważ   to teraz łatwo wnioskujemy, że dla każdej liczby naturalnej   przekrój   jest miary Lebesgue’a zero, a zatem i   jest miary zero. Czyli z miarowego punktu widzenia, prawie żadna liczba rzeczywista nie jest liczbą Liouville’a.

Własności topologiczne zbioru liczb Liouville’a

edytuj

Dla liczby naturalnej   połóżmy:

 

Każdy ze zbiorów   jest otwartym gęstym podzbiorem prostej   (zauważmy, że   zawiera wszystkie liczby wymierne). Ponadto   zatem   jest gęstym zbiorem typu Gδ, a stąd jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii. Czyli, z topologicznego punktu widzenia, prawie każda liczba rzeczywista jest liczbą Liouville’a.

Stopień niewymierności

edytuj

Istnieje prosta metoda pozwalająca zmierzyć, „jak bardzo” niewymierna jest dana liczba. Polega ona na badaniu dokładności aproksymacji liczby   za pomocą liczb wymiernych.

Stopniem niewymierności nazywamy kres górny zbioru liczb rzeczywistych   o tej własności, że nierówność

 

zachodzi dla nieskończenie wielu par   gdzie  

Wszystkie liczby Liouville’a i tylko one mają nieskończony stopień niewymierności.

Liczby Liouville’a jako liczby przestępne

edytuj

Poniżej wykażemy, że każda liczba Liouville’a jest przestępna. Jednak nie każda liczba przestępna jest liczbą Liouville’a – ponieważ zbiór liczb Liouville’a jest zbiorem miary zero Lebesgue’a, to istnieje nieprzeliczalnie wiele liczb przestępnych, które nie są liczbami Liouville’a. Okazuje się, że liczbami Liouville’a nie są również liczby e oraz π.

Punktem kluczowym dowodu jest obserwacja, że liczba algebraiczna, która jest niewymierna, nie daje się w pewnym sensie „dobrze” aproksymować liczbami wymiernymi. Poniższy lemat należący do Liouville’a nazywany jest również często twierdzeniem Liouville’a o aproksymacji diofantycznej.

Lemat: Jeśli   jest liczbą niewymierną, która jest pierwiastkiem wielomianu   stopnia   o współczynnikach całkowitych, to istnieje liczba rzeczywista   taka, że dla dowolnych liczb całkowitych   oraz   zachodzi  

Dowód lematu: Niech   oznacza największą wartość modułu pochodnej   wielomianu   w przedziale   Niech   będą różnymi pierwiastkami wielomianu   które są różne od α. Wybierzmy taką liczbę   która spełnia warunek:

 

Przypuśćmy, że istnieją takie liczby całkowite   dla których nierówność podana w tezie lematu nie zachodzi. Oznacza to, że

 

Wówczas   leży w przedziale   oraz   nie jest żadną z liczb   Zatem   nie jest też pierwiastkiem   a ponadto żaden pierwiastek   nie leży pomiędzy   i  

Na mocy twierdzenia o wartości średniej pomiędzy   i   istnieje taka liczba   że

 

Ponieważ   jest pierwiastkiem   a   nie, zatem   i:

 

Ponieważ   jest postaci   gdzie każde   jest całkowite,   można zapisać jako

 

Ostatnia nierówność zachodzi, gdyż   nie jest pierwiastkiem wielomianu   a   są liczbami całkowitymi.

Zatem   a skoro   na mocy określenia liczby   i   z definicji   otrzymujemy stąd sprzeczność:

 

Wynika stąd, że nie istnieją liczby   i   o takich własnościach, co dowodzi lematu.

Dowód stwierdzenia: Niech   będzie liczbą Liouville’a, wiemy już, że   jest liczbą niewymierną. Gdyby   była liczbą algebraiczną, na mocy lematu istniałyby liczby naturalna   i rzeczywista dodatnia   takie że dla dowolnych całkowitych   i  

 

Niech   będzie taką liczbą naturalną, że   Jeśli położyć   to – ponieważ   jest liczbą Liouville’a – znajdziemy liczby całkowite   i takie, że

 

co stoi w sprzeczności z lematem. Stąd   nie jest algebraiczna, a zatem jest przestępna.

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. John C. Oxtoby, Measure and category. A survey of the analogies between topological and measure spaces. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 2. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980, s. 8. ISBN 0-387-90508-1.

Linki zewnętrzne

edytuj