Punkt (topologia)

Punkt – element przestrzeni topologicznej. W zależności od rodzaju przestrzeni, jej punktami mogą być: liczby, ciągi liczbowe (skończone lub nieskończone), punkty przestrzeni euklidesowej, punkty rozmaitości topologicznej, funkcje, ideały pierwsze pierścienia przemiennego, ideały maksymalne algebr Banacha, elementy różnych struktur algebraicznych itp.

Przykłady

W przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ punktem jest ciąg $n$ -elementowy $(x_{1},\dots ,x_{n}).$
Na płaszczyźnie zespolonej punktami są liczby zespolone.
W przestrzeni Hilberta $\ell _{2}$ punktami są nieskończone ciągi liczbowe $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\dots ),$ dla których szereg $\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{2}$ jest zbieżny^[1]^[2].
W przestrzeni funkcyjnej punktami są funkcje. Na przykład w przestrzeni $C[a,b]$ punktami są funkcje ciągłe $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ ^[3].
W przestrzeni sprzężonej z przestrzenią unormowaną $E$ z topologią silną (albo słabą) punktami są funkcjonały liniowe na $E$ ^[4].
Punktami spektrum ${\text{Spec}}(R)$ pierścienia przemiennego $R$ z jedynką są jego ideały pierwsze^[5].
Dla przemiennej algebry Banacha $A$ zbiór jej ideałów maksymalnych można utożsamiać z podprzestrzenią topologiczną sfery jednostkowej przestrzeni sprzężonej $A^{*}$ z *-słabą topologią^[6]. Zatem w tej przestrzeni punktami są ideały maksymalne algebry Banacha.
Elementami grupy topologicznej $SO(3)$ są macierze ortogonalne rzędu $3\times 3$ o wyznaczniku równym 1. Macierze te mogą być interpretowane jako punkty trójwymiarowej przestrzeni rzutowej $\mathbb {R} P^{3},$ bo obie te przestrzenie są homeomorficzne^[7].

W przestrzeni T₁ każdy punkt jest zbiorem domkniętym^[8].
Jeżeli przestrzeń T₁ ma skończoną liczbę punktów, to każdy jej podzbiór jest zarówno domknięty, jak i otwarty. W szczególności każdy jej punkt jest domknięto-otwarty.
Każdą przestrzeń lokalnie zwartą $X$ można uzwarcić dodając do niej jeden punkt $p,$ a do bazy zbiorów otwartych – dopełnienia podzbiorów zwartych $Z$ zbioru $X,$ czyli zbiory $\{p\}\cup X\setminus Z$ (twierdzenie Aleksandrowa)^[9]. W szczególności okrąg jednostkowy jest uzwarceniem prostej $\{(x,y):y=0\}$ za pomocą punktu $(0,1),$ a sfera jednostkowa $\{(x,y,z):x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$ jest uzwarceniem płaszczyzny $\{(x,y,z):z=0\}$ za pomocą punktu $(0,0,1)$ ^[10].

↑ Kuratowski 1962 ↓, s. 95–96.
↑ Колмогоров А.Н., Фомин С.В.: Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Наука, 1989, s. 60.
↑ Колмогоров, Фомин, op. cit., s. 60.
↑ Колмогоров, Фомин, op. cit., s. 211–212.
↑ Atiyah M.F., Macdonald I.G.: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley, 1969., tłum. ros. 1972, s. 22–24.
↑ Theodore Gamelin: Uniform Algebras. Englewood Cliffs, 1969., tłum. ros. 1973, s. 14–15.
↑ Трофимов B.B.: Введение в геометрию многообразий с симметриями. Москва: Издательство Московского Университета, 1989, s. 97.
↑ Duda 1986 ↓, s. 132.
↑ Ryszard Engelking: Topologia ogólna. T. 47. Warszawa: PWN, 1975, s. 218–219.
↑ Duda 1986 ↓, s. 183.

Roman Duda: Wprowadzenie do topologii. T. 1. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986. ISBN 83-01-05714-9.
Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: PWN, 1962.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В.: Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Наука, 1989.
Theodore Gamelin: Uniform Algebras. Englewood Cliffs, 1969.
Ryszard Engelking: Topologia ogólna. T. 47. Warszawa: PWN, 1975.
Atiyah M.F., Macdonald I.G.: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley, 1969.