Domknięcie (topologia)

Domknięcie – operacja przyporządkowująca podzbiorowi przestrzeni topologicznej najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór domknięty zawierający ten podzbiór.

Definicja formalna

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną. Domknięciem zbioru $A\subseteq X$ nazywamy najmniejszy w sensie inkluzji zbiór domknięty, oznaczany ${\overline {A}}$ lub $\operatorname {cl} \;A$ (od ang. closure), zawierający $A.$ Innymi słowy:

$\operatorname {cl} \;A=\bigcap \{F\subseteq X\colon A\subseteq F\land X\setminus F\in \tau \}.$

Uwagi

• Operacja domknięcia (określona na zbiorze potęgowym przestrzeni topologicznej) jest dobrze określona, gdyż rodzina wszystkich zbiorów domkniętych zawierających dany podzbiór przestrzeni jest niepusta, ponieważ należy do niej cała przestrzeń.
• W dowolnym zbiorze $X$ można określić topologię, wyróżniając przy pomocy tzw. operacji Kuratowskiego rodzinę zbiorów domkniętych.
• Jeśli $X$ jest przestrzenią topologiczną oraz $A\subseteq X,$ to następujące warunki są równoważne:
  1. $x\in \operatorname {cl} \;A,$
  2. dla każdej bazy otoczeń ${\mathcal {B}}(x)$ punktu $x$ i każdego $U\in {\mathcal {B}}(x)$ mamy $U\cap A\neq \varnothing ,$
  3. dla pewnej bazy otoczeń ${\mathcal {B}}(x)$ punktu $x$ i każdego $U\in {\mathcal {B}}(x)$ mamy $U\cap A\neq \varnothing .$
• Jeśli $(X,d)$ jest przestrzenią metryczną oraz $A\subseteq X,$ to

$\operatorname {cl} \;A=\{x\in X\colon d(x,A)=0\},$ gdzie przez $d(x,A)$ rozumie się odległość punktu od zbioru, tzn. $d(x,A)=\inf\{d(x,a):a\in A\}.$ Oznacza to, że zbiór $\operatorname {cl} \;A$ składa się z tych $a\in X$ dla których istnieje ciąg $(x_{n})$ elementów zbioru $A$ zbieżny do $a.$

• Jeżeli $X$ jest przestrzenią spełniającą pierwszy aksjomat przeliczalności (np. przestrzenią metryczną) oraz $A$ jest podzbiorem zbioru $X,$ to punkt z przestrzeni $X$ jest punktem domknięcia zbioru $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu elementów ze zbioru $A.$ W topologii wyróżnia się klasę tzw. przestrzeni Frécheta, które mają tę własność, że domknięcie dowolnego niepustego zbioru składa się z granic ciągów elementów tego zbioru.
• Dla dowolnej przestrzeni topologicznej $X$ punkt należy do domknięcia zbioru $A\subset X$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu uogólnionego o wyrazach ze zbioru $A.$

Własności

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną oraz $A,B\subseteq X.$ Wówczas:

• $\operatorname {cl} \;\varnothing =\varnothing ,$
• $A\subseteq \operatorname {cl} \;A,$
• $\operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} \;A\cup \operatorname {cl} \;B,$
• $\operatorname {cl} (\operatorname {cl} \;A)=\operatorname {cl} \;A$ (idempotentność).

Dalsze własności

• $\operatorname {cl} \;X=X,$
• $A$ jest domknięty $\iff A=\operatorname {cl} \;A,$
• $A\subset B\implies \operatorname {cl} \;A\subset \operatorname {cl} B$ (monotoniczność),
• $\operatorname {cl} (A\cap B)\subseteq \operatorname {cl} \;A\cap \operatorname {cl} \;B;$ ta własność uogólnia się do przeliczalnej liczby zbiorów:
  • Ogólniej, jeśli $(A_{i})_{i\in I}$ jest dowolną rodziną podzbiorów $X,$ to
    $\operatorname {cl} \;\bigcap _{i\in I}~A_{i}\subseteq \bigcap _{i\in I}~\operatorname {cl} \;A_{i}.$
• Jeśli $(A_{i})_{i\in I}$ jest rodziną podzbiorów zbioru $X,$ to
  $\bigcup _{i\in I}~\operatorname {cl} \;A_{i}\subset \operatorname {cl} \;\bigcup _{i\in I}~A_{i}.$
• Jeśli $(A_{i})_{i\in I}$ jest rodziną lokalnie skończoną podzbiorów zbioru $X,$ to
  $\bigcup _{i\in I}~\operatorname {cl} \;A_{i}=\operatorname {cl} \;\bigcup _{i\in I}~A_{i}.$
• Domknięcie zbioru jest sumą mnogościową tego zbioru oraz jego brzegu.
• Jeśli $Y$ jest podprzestrzenią topologiczną $X,$ zawierającą $A,$ to domknięcie $A$ w przestrzeni $Y$ jest równe części wspólnej $Y$ i domknięcia $A$ w przestrzeni $X{:}$ $\operatorname {cl} _{Y}(A)=Y\cap \operatorname {cl} _{X}(A).$
• Dla każdego $A\subset X$ mamy: $\operatorname {cl} \;A=X\setminus \operatorname {Int} \;(X\setminus A).$

Operacja domknięcia a topologia

Jeżeli operację brania domknięcia zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia cztery pierwsze własności, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację domknięcia w zbiorze $X$.

Przykłady

• W topologii antydyskretnej (czyli takiej, w której jedynymi zbiorami otwartymi są $\varnothing$ i $X$), domknięciem dowolnego zbioru niepustego jest cała przestrzeń, innymi słowy, każdy niepusty podzbiór tej przestrzeni jest gęsty.
• W topologii dyskretnej (czyli takiej, w której każdy zbiór jest otwarty) domknięciem dowolnego zbioru jest on sam.
• W topologii euklidesowej, na prostej rzeczywistej domknięciem
  • przedziału otwartego $(0,1)$ jest przedział domknięty $[0,1].$
  • zbioru liczb wymiernych i liczb niewymiernych jest $\mathbb {R} .$
• W przestrzeniach metrycznych, domknięcie danego zbioru stanowią wszystkie granice ciągów elementów tego zbioru.

Zobacz też

• brzeg zbioru
• domknięcie normalne
• matroid
• pochodna zbioru
• wnętrze zbioru

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976.brak strony w książce