Liczby zespolone

Liczby zespolone to uporządkowane pary liczb rzeczywistych z określonymi na nich funkcjami addytywną i multiplikatywną, odpowiednio:

dodawania: $(a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2})$
mnożenia: $(a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})$ .

gdzie $a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}\in \mathbb {R}$ .

Liczby zespolone można rozumieć jako pewne rozszerzenie zbioru liczb rzeczywistych. Można dowieść, że zbiór $(\mathbb {R} ^{2},+,\cdot )$ z tak określonymi działaniami tworzy ciało. Oznacza się je zwykle symbolem $\mathbb {C}$ (od ang. complex – złożony). Powyższe działania są więc przemienne, co wynika z przemienności odpowiednich działań w ciele liczb rzeczywistych.

Ciało liczb zespolonych jest ciałem algebraicznie domkniętym. Ponadto jest ono najmniejszym ciałem algebraicznie domkniętym zawierającym liczby rzeczywiste. Mówimy, że ciało liczb zespolonych jest domknięciem algebraicznym ciała liczb rzeczywistych.

Historia

Liczby zespolone zostały wprowadzone do matematyki przez Girolama Cardana. Nadał on w szczególności liczbie $i$ nazwę jednostki urojonej, nie wierząc w rzeczywiste istnienie takiego obiektu, a jedynie uznając go za pomocniczy element w rachunku, mającym w zamierzeniu dać pierwiastki równania wielomianowego trzeciego stopnia (tzw. wzory Cardano). Liczbami zespolonymi zajmowali się wielcy matematycy tacy jak Hamilton, czy Euler (por. wzór Eulera). Jest to ciekawy przykład pojęcia o fundamentalnym znaczeniu dla techniki (m.in. elektrotechniki), które znalazło swoje główne zastosowanie po kilkuset latach od wynalezienia.

Formalne określenie zbioru liczb zespolonych jako zbioru ${\mathbb {R} }^{2}$ pochodzi od Hamiltona.

Postać algebraiczna

Postać pary $(a,b)$ nie jest najwygodniejsza w użyciu (przede wszystkim z powodu nawiasów). Liczbę $(a,0)$ utożsamiamy z liczbą rzeczywistą $a$ , z kolei $(0,b)$ nie ma swojego odpowiednika w liczbych rzeczywistych.

Jednakże $(0,b)=b\cdot (0,1)$ , a więc $(a,b)=(a,0)+b\cdot (0,1)$ . Wprowadzenie oznaczenie na liczbę $(0,1)$ pozwoliłoby na korzystanie z dogodniejszej postaci $a+b(0,1)$ . Takie oznaczenie już istnieje – jest nim $i$ i nazywane jest często jednostką urojoną. Zapis liczby zespolonej wygląda wtedy następująco: $a+bi$ .

Formalnie rzecz ujmując utożsamiamy $\mathbb {C} \ni z=a+bi\equiv (a,b)$ . Zauważmy, iż $(0,1)^{2}=(0,1)\cdot (0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)=(-1,0)$ , a więc $i^{2}=-1$ . Pochodzący z tej nierówności spotykany czasami zapis $i={\sqrt {-1}}$ jest uważany obecnie za niepoprawny.

Dla liczb zespolonych postaci $a+bi$ mamy:

$\Re (z)=\mathbf {Re} (z)=a$ nazywane częścią rzeczywistą,
$\Im (z)=\mathbf {Im} (z)=b$ nazywane częścią urojoną.

Operacje na liczbach zespolonych

Najwygodniejszą postacią do przeprowadzania działań dodawania i mnożenia jest postać algebraiczna. Wtedy wykonuje się je tak samo jak odpowiednie operacje na wyrażeniach algebraicznych, należy tylko pamiętać o własności $i^{2}=-1$ :

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$ ,
$(a+bi)(c+di)=ac+(bc+ad)i+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i$ .

Warto pamiętać wzór na dzielenie, wywodzący się wprost z powyższej operacji mnożenia:

${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}$

Interpretacja geometryczna

Plik:Zesp.png

Ponieważ liczby zespolone to pary uporządkowane, możemy je utożsamiać z wektorami płaszczyzny, podobnie jak utożsamiamy prostą z liczbami rzeczywistymi. Interpretacja ta, dla których w specjalny sposób określono mnożenie, znana była już pod koniec XVIII wieku, choć ostatecznie jej autorstwo przypisuje się Argandowi.

Zauważmy, iż długość wektora ${\vec {z}}=[a,b]$ jest równa z tw. Pitagorasa $|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ . Dla liczby $z=a+bi$ definiujmy moduł liczby zespolonej jako $|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\geq 0$ . Moduł liczby zespolonej ma analogiczne własności do wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej.

Niech $\phi$ oznacza kąt, który wektor ${\vec {z}}$ tworzy z prostą $OX$ , oznaczmy go przez $\arg(z)$ . Jest to tzw. argument liczby zespolonej. Widać, iż $\sin \phi ={\frac {b}{|z|}}$ i $\cos \phi ={\frac {a}{|z|}}$ . Oczywiście liczba zespolona różna zera ma nieskończenie wiele argumentów, choć tylko jeden moduł. W celu ujednoznaczenia tegoż wprowadza się tzw. argument główny (wartość główną argumentu) oznaczany przez ${\mbox{Arg}}(z)$ . Jest to argument liczby $z$ spełniający równość $0\leq \arg(z)<2\pi$ (czasami też równoważnie $-\pi <\arg(z)\leq \pi$ ).

Gdy $|z|=0\Leftrightarrow z=0$ , argument jest nieokreślony. Dla liczb rzeczywistych argument główny jest równy zeru dla liczb dodatnich oraz $\pi$ dla ujemnych.

Tak więc ostatecznie liczba zespolona w tej interpretacji to iloczyn długości wektora (modułu liczby zespolonej) przez kąt skierowany tego wektora (argument liczby zespolonej):

$z=a+bi=|z|{\frac {a}{|z|}}+|z|{\frac {b}{|z|}}i=|z|(cos\phi +i\sin \phi )$

Trywialny jest również fakt, iż mnożenie przez $i$ można zinterpretować jako obrót płaszczyzny o kąt 90° w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara.

Wzór de Moivre'a

Mnożenie liczb zespolonych jest dość proste, jednak potęgowanie postaci algebraicznej może sprawiać problemy przy wyższych potęgach. To działanie łatwiej przeprowadzić w postaci trygonometrycznej:

Rozpatrzmy $z=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )$ . Na podstawie reguły indukcji matematycznej zachodzi wzór $z^{n}=|z|^{n}(\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=|z|^{n}(\cos(n\phi )+i\sin(n\phi ))$ .

Służy on również do obliczania $n$ -tej potęgi funkcji $sin$ i $cos$ – należy obliczyć $z^{n}$ dla $|z|=1$ .

Z kolei pierwiastkowanie postaci algebraicznej jest niemożliwe — na podstawie wzoru de Moivre'a możemy wykonać pierwiastkowanie jako potęgowanie liczby $1/overn$ . Ponieważ każdy wielomian ma liczbę pierwiastków równą jego stopniowi, to każda liczba zespolona posiada $k$ pierwiastków:

$W_{k}={\sqrt[{n}]{|z|}}\left(\cos \left({{\psi +2k\pi } \over n}\right)+i\sin \left({\psi +2k\pi \over n}\right)\right)$ , gdzie $(k=0,1,...,n-1)$ .

Relacja porządku

Rozważmy dwie liczby zespolone $v=a+bi$ i $w=c+di$ . Łatwo możemy stwierdzić, czy są one są równe, czy też nie:

ich moduły i argumenty są równe, czyli $|v|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}}}=|w|$ oraz ${\mbox{Arg}}(v)={\mbox{Arg}}(w)\Leftrightarrow \arctan {b \over a}=\arctan {d \over c}$ ,
ich części rzeczywiste oraz urojone są równe, czyli $a=c$ i $b=d$ .

Choć możnaby umówić się na jakiś porządek liczb zespolonych (np. leksykograficzny), to jednak taka relacja nie została określona. Tak więc nie da się określić, która z dwóch liczb jest większa lub mniejsza. Można natomiast porównywać ich moduły oraz argumenty (główne), gdyż zarówno moduł jak i argument liczby zespolonej są liczbami rzeczywistymi.

Postać wykładnicza

Rozpatrzmy liczbę $z=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )$ spróbujmy wyrazić funkcje $sin$ i $cos$ za pomocą funkcji wykładniczej (por. definicja analityczna funkcji trygonometrycznych):

\sin \psi ={e^{i\psi }-e^{-i\psi } \over 2i}

\cos \psi ={e^{i\psi }+e^{-i\psi } \over 2}

Mamy $\cos \psi +i\sin \psi ={e^{i\psi }+e^{-i\psi } \over 2}+i{e^{i\psi }-e^{-i\psi } \over 2i}={{e^{i\psi }+e^{-i\psi }+e^{i\psi }-e^{-i\psi }} \over 2}=e^{i\psi }$ .