Grupa okręgu

Grupa okręgu – podgrupa $\mathbb {T}$ grupy multiplikatywnej ciała liczb zespolonych złożona ze wszystkich liczb o module równym 1;

{\begin{array}{lcl}\mathbb {T} &=&\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\},\\&=&\{e^{it}\colon t\in \mathbb {R} \}.\end{array}}

W grupie $\mathbb {T} ,$ jako podgrupie grupy multiplikatywnej ciała $\mathbb {C} ,$ działaniem jest zwykłe mnożenie liczb zespolonych, a elementem neutralnym jest $1=e^{0}.$ Grupa okręgu w naturalny sposób daje się utożsamić z grupą obrotów płaszczyzny wokół ustalonego punktu, zwykle początku, z działaniem ich składania. Grupa ta pełni istotną rolę w teorii grup Liego.

Traktując płaszczyznę jako rzeczywistą przestrzeń liniową bądź jako przestrzeń unitarną (euklidesową) grupę okręgu można utożsamiać z grupą przekształceń liniowych, lub odpowiednio, przekształceń unitarnych o wyznaczniku 1 (z działaniem ich składania).

Przestrzeń produktowa dwóch kopii grupy okręgu jest homeomorficzna z torusem (2-torusem $\mathbb {T} ^{2}$ ), a zatem okrąg może być interpretowany jako 1-torus, skąd pochodzi oznaczenie $\mathbb {T} .$

Własności

Ilustracja działania w grupie okręgu, które odpowiada dodawaniu miar kątów środkowych (mających wspólne ramię) zgodnie z arytmetyką modularną o module

360^{\circ }=2\pi .

Grupa okręgu jest przemienna, ponieważ mnożenie liczb zespolonych jest przemienne.
Grupa okręgu jest podzielna (injektywna).
Grupa okręgu ma naturalną strukturę grupy topologicznej z topologią indukowaną z płaszczyzny zespolonej. Ponieważ okrąg jednostkowy jest domkniętym i ograniczonym podzbiorem płaszczyzny zespolonej, z twierdzenia Heinego-Borela wynika, że grupa okręgu jest zwarta.
Grupa okręgu jest izomorficzna (jako grupa topologiczna) z grupą ilorazową $\mathbb {R} /\mathbb {Z} .$

Dowód. Odwzorowanie

h\colon \mathbb {R} \to \mathbb {T}

dane wzorem

h(x)=e^{2\pi ix}(x\in \mathbb {R} )

jest ciągłym, suriektywnym homomorfizmem grup, którego jądrem jest

\mathbb {Z} .

Podgrupa

\mathbb {Z}

grupy

\mathbb {R}

jest domknięta, a zatem z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie dla grup topologicznych, odwzorowanie

H\colon \mathbb {R} /\mathbb {Z} \to \mathbb {T}

dane wzorem

H([x])=h(x),

gdzie

[x]\in \mathbb {R} /\mathbb {Z}

jest homeomorficznym izomorfizmem grup.

Grupa okręgu jest grupą Liego, której przestrzeń styczna w 1 może być utożsamiana z prostą urojoną płaszczyzny. Odwzorowanie wykładnicze dla tej grupy Liego dane jest wzorem

it\mapsto \exp(it)=e^{it}=\cos t+i\sin t;

przekształcenie to jest przykładem (pod)grupy jednoparametrowej.

Dualność Pontriagina pomiędzy grupą okręgu a grupą liczb całkowitych

Grupa okręgu jest zwarta, więc grupa dualna do $\mathbb {T} ,$ złożona z ciągłych homomorfizmów do $\mathbb {T}$ jest dyskretna. Co więcej

{\hat {\mathbb {T} }}\cong \mathbb {Z} ,

a zatem z dualności Pontriagina także

{\hat {\mathbb {Z} }}\cong \mathbb {T} .

Powyższe twierdzenie jest jednym z podstawowych faktów w analizie harmonicznej. Można je udowodnić w oparciu o twierdzenie orzekające, że każdy ciągły homomorfizm $\chi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {T}$ jest postaci

\chi (x)=e^{2\pi ixy}\quad (x\in \mathbb {R} )

dla pewnej liczby rzeczywistej $y.$ Wynika stąd, że każdy ciągły homomorfizm $\chi \colon \mathbb {T} \to \mathbb {T}$ jest postaci $\chi (z)=z^{n}$ dla pewnego $n\in \mathbb {Z} .$ W szczególności, grupa dualna do $\mathbb {T}$ jest izomorficzna z $\mathbb {Z} .$

Dowód. Ponieważ istnieje izomorfizm grup topologicznych $\mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} ,$ wystarczy zatem rozważać ciągłe homomorfizmy z $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ do $\mathbb {T} .$

Niech $\chi \colon \mathbb {R} /\mathbb {Z} \to \mathbb {T}$ będzie ciągłym homomorfizmem oraz niech $\chi '\colon \mathbb {R} \to \mathbb {T}$ będzie jego podniesieniem do $\mathbb {R} ,$ tj. $\chi '(x)=\chi (x{\bmod {\mathbb {Z} }}).$ Wówczas $\chi '(x)=e^{2\pi ixy}$ dla pewnego $y\in \mathbb {R} .$ W szczególności, gdy $x=1,$ to $1=e^{2\pi iy},$ skąd $y$ musi być liczbą całkowitą, co kończy dowód.

Bibliografia

N. Bourbaki, Elements of mathematics. General topology, Part 2, Hermann, Paris 1966.
Luogeng Hua: Starting with the unit circle. Springer, 1981. ISBN 978-1-4613-8138-9.