Zbieżność jednostajna
|
Ten artykuł od 2024-03 zawiera treści, przy których brakuje odnośników do źródeł. |
Zbieżność jednostajna – własność ciągu funkcji o wartościach w danej przestrzeni metrycznej. Ciąg funkcji zbiega jednostajnie do funkcji , jeśli dla dowolnej liczby istnieje liczba naturalna taka, że funkcje są odległe od funkcji o mniej niż w każdym punkcie swojej dziedziny.
Zbieżność jednostajna jest własnością silniejszą od zbieżności punktowej. W przypadku zbieżności jednostajnej rozważamy odległości ciągu funkcji of funkcji granicznej w każdym punkcie ich dziedziny. W przypadku zbieżności punktowej wybieramy ustalony punkt i ciąg traktujemy jak ciąg liczbowy. Innymi słowy, w przypadku zbieżności punktowej wybrana liczba może zależeć od , a w przypadku zbieżności jednostajnej - nie.
Definicja
edytujNiech będzie niepustym zbiorem, a oznacza przestrzeń metryczną. Ciąg funkcji jest jednostajnie zbieżny do funkcji jeżeli
Definicja formalna jest równoznaczna z granicą
Jeśli ciąg funkcji zbiega jednostajnie do funkcji to o mówi się, że jest granicą jednostajną ciągu i pisze
Zbiory liczb rzeczywistych i liczb zespolonych są przestrzeniami metrycznymi z metryką daną przez (gdzie rozumiemy jako moduł), dlatego ciąg zbiega do funkcji jeśli
.
Jeżeli jest przestrzenią topologiczną, to ciąg funkcji jest niemal jednostajnie zbieżny do funkcji jeżeli dla każdego zbioru zwartego ciąg jest jednostajnie zbieżny.
Rys historyczny
edytujW 1821 roku Augustin-Louis Cauchy opublikował dowód, że zbieżna suma funkcji ciągłych jest zawsze ciągła, na co Niels Henrik Abel w 1826 roku znalazł rzekome kontrprzykłady w kontekście szeregów Fouriera, argumentując, że dowód Cauchy'ego musiał być niepoprawny. Całkowicie standardowe pojęcia zbieżności nie istniały w tamtym czasie, a Cauchy zajmował się zbieżnością przy użyciu metod infinitezymalnych. Mówiąc współczesnym językiem, Cauchy udowodnił, że jednostajnie zbieżny ciąg funkcji ciągłych ma ciągłą granicę. Niepowodzenie zbieżności jedynie punktowo zbieżnej granicy funkcji ciągłych do funkcji ciągłej ilustruje znaczenie rozróżnienia między różnymi typami zbieżności podczas pracy z ciągami funkcji[1].
- Dirichlet zanalizował argumenty Cauchy’ego, znalazł błąd i wskazał dodatkowe założenie potrzebne dla ciągłości funkcji granicznej[2]: zbieżność jednostajną.
- W 1906 Maurice Fréchet opublikował metrykę zbieżności jednostajnej (chociaż twierdził on, że ta metryka była już rozważana wcześniej przez Karla Weierstrassa).
Przykłady
edytuj- Każdy ciąg stały jest zbieżny jednostajnie (do swojego stałego wyrazu).
- Granica jednostajna ciągu funkcji które nie są ciągłe w żadnym punkcie może być ciągła. Rozważmy np. funkcję Dirichleta i połóżmy dla Wówczas
- Na mocy twierdzenia Weierstrassa każda funkcja ciągła gdzie i jest granicą jednostajną ciągu wielomianów.
- Rozważmy funkcje zadane w dziedzinie wzorem dla Niech będzie dana wzorem
- Wówczas lecz oraz i a to
- jeśli dodatkowo funkcje i są ograniczone, to
- jeśli ponadto dla pewnego dla każdego zachodzi to
- Jeśli są ciągłe i oraz to (twierdzenie Diniego) : Jeśli są przestrzeniami metrycznymi, a są funkcjami ciągłymi, przy czym to również jest funkcją ciągłą. : Jeśli są przestrzeniami metrycznymi, jest przestrzenią zupełną, a to:
do pewnej funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego, tzn.
- Jeśli są takimi funkcjami różniczkowalnymi, że oraz ciąg funkcji pochodnych to funkcja jest różniczkowalna i
Szeregi funkcyjne
edytujPojęcie zbieżności jednostajnej można stosować również do szeregów funkcyjnych. Dla danego ciągu funkcji definiujemy ciąg sum częściowych .
Szereg potęgowy
edytujCiąg sum częściowych (lub ) definiujemy jako
,
gdzie są dowolnymi współczynnikami zespolonymi lub rzeczywistymi i jest środkiem szeregu. Znanym w literaturze wynikiem jest, że dla promienia zbieżności
ciąg zbiega jednostajnie na kole . Jednak w ogólności nie wiadomo, w jaki sposób szereg zachowuje się na brzegu koła - obszarze [3].
Szereg Laurenta
edytujSzereg Laurenta zdefiniowany jako granica ciągu
składa się z dwóch szeregów potęgowych. Jeśli i są promieniami zbieżności odpowiednio części osobliwej i regularnej, to ciąg sum częściowych jest zbieżny jednostajnie na obszarze .
Pojęcia pokrewne
edytujAustriacki matematyk Hans Hahn wprowadził w 1921 następujące pojęcia.
Niech będą przestrzeniami metrycznymi, a będą dla dowolnymi funkcjami.
- Ciąg zbiega ciągle do funkcji jeśli
- dla każdego ciągu elementów przestrzeni jeśli to
- Ciąg zbiega ciągle w silnym sensie do funkcji jeśli
- dla każdego ciągu elementów przestrzeni jeśli ciąg jest zbieżny w to także ciąg jest zbieżny oraz
Zbieżność jednostajna pociąga ciągłą zbieżność w silnym sensie. Jeśli jest zwarta, to pojęcie zbieżności ciągłej w silnym sensie pokrywa się z pojęciem zbieżności jednostajnej. Jeśli jest zwarta, to pojęcie ciągłej zbieżności jest równoważne zbieżności jednostajnej.
Czytelnik może znaleźć więcej informacji w monografii Kazimierza Kuratowskiego
Zbieżność w przestrzeniach funkcji ciągłych
edytujNiech będą przestrzeniami metrycznymi, a oznacza zbiór wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni w przestrzeń Dla określamy
Wówczas jest metryką na zbiorze nazywaną metryką zbieżności jednostajnej.
- Jeśli jest przestrzenią zwartą, to topologia zbieżności jednostajnej na zgadza się z tzw. topologią naturalną, zwaną też topologią zwarto-otwartą, która jest generowana przez podbazę złożoną ze wszystkich zbiorów postaci
- Jeśli jest przestrzenią zwartą, a jest przestrzenią zupełną, to również jest przestrzenią zupełną.
- jest przestrzenią polską.
Prawie zbieżność jednostajna
edytujTwierdzenie Jegorowa jest motywacją do wprowadzenia osobnego pojęcia dla ciągów funkcyjnych zdefiniowanych na przestrzeniach mierzalnych. Niech będzie ciągiem funkcji mierzalnych na przestrzeni z miarą . Powiemy, że ciąg jest prawie zbieżny jednostajnie do funkcji , jeśli dla każdej liczby istnieje zbiór taki, że oraz ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji .
Zbieżność jednostajna jest warunkiem silniejszym niż zbieżność prawie jednostajna. Na skończonej przestrzeni z miarą zbieżność prawie wszędzie jest równoznaczna ze zbieżnością prawie jednostajną[4].
Zobacz też
edytujPrzypisy
edytuj- ↑ Henrik Kragh Sørensen , Exceptions and counterexamples: Understanding Abel's comment on Cauchy's Theorem, „Historia Mathematica”, 32 (4), 2005, s. 453–480, DOI: 10.1016/j.hm.2004.11.010 [dostęp 2024-04-26] (ang.).
- ↑ Jahnke 2003 ↓, s. 180-181.
- ↑ Ian Stewart , David Tall , Complex Analysis, Cambridge University Press, 23 sierpnia 2018, s. 85, DOI: 10.1017/9781108505468, ISBN 978-1-108-50546-8 [dostęp 2024-04-26] (ang.).
- ↑ Donald L. Cohn , Measure Theory, wyd. 2, Birkhäuser, 1980 (Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher), s. 82, DOI: 10.1007/978-1-4899-0399-0 [dostęp 2024-04-26] (ang.).
Bibliografia
edytuj- Maurice Fréchet: Sur quelques points du calcul fonctionnel; Rend. del Circ. Mat. di Palermo, 22 (1906), s. 1–74.
- Hahn, Hans: Theorie der reellen Funktionen. Berlin: J. Springer, 1921.
- Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. siódme rozszerzone. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 9.
- Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 47.
- Roman Duda: Wprowadzenie do topologii. Cz. I. Topologia ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 61. ISBN 83-01-05714-9.
- Kuratowski, Kazimierz: Topology, Volume I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966.
- Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
Linki zewnętrzne
edytuj- Eric W. Weisstein , Uniform Convergence, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-06-20].