Przestrzeń funkcyjna

Przestrzeń funkcyjna – zbiór funkcji ze zbioru $X$ w zbiór $Y,$ z odpowiednio zdefiniowaną strukturą, która tworzy z niego przestrzeń (np. przestrzeń topologiczną, przestrzeń liniową czy przestrzeń liniowo-topologiczną). Przestrzenie funkcyjne są przestrzeniami nieskończenie wymiarowymi. Przestrzeni funkcyjnej można nadać dodatkowe, subtelniejsze struktury, np. wprowadzając definicje odległości (metryki), normy, iloczynu skalarnego, przekształcające je odpowiednio w przestrzenie funkcyjne metryczne, unormowane i unitarne, analogiczne do przestrzeni metrycznych, unormowanych i unitarnych skończonego wymiaru.

Definiowaniem przestrzeni funkcyjnych i ich strukturami zajmuje się analiza funkcjonalna.

Definicja przestrzeni funkcyjnej liniowej

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $F,$ zaś $X$ – pewnym zbiorem. Rozważmy zbiór funkcji $\{f\colon X\to V\}$ wówczas przestrzenią funkcyjną liniową nad ciałem $F$ nazywamy uporządkowaną czwórkę $(\{f\colon X\to V\},F,+,\cdot )$ gdzie działania dodawania funkcji oraz mnożenia funkcji przez skalar definiujemy następująco:

(1.1) Sumą funkcji $f,g\colon X\to V$ nazywa się funkcję $h\colon X\to V$ taką, że dla dowolnych $x\in X$ spełniona jest zależność

$h(x)=f(x)+g(x).$

Wtedy pisze się $h=f+g$

(1.2) Iloczynem funkcji $f\colon X\to V$ przez skalar $c\in F$ nazywa się funkcję $h\colon X\to V$ taką, że dla dowolnych $x\in X$ spełniona jest zależność

$h(x)=c\cdot f(x).$

Wtedy pisze się $h=c\cdot f.$

Funkcje należące do przestrzeni liniowej nazywa się wektorami.

Liniowa niezależność funkcji. Baza

(2.1) Funkcje $f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}$ nazywa się liniowo niezależnymi jeżeli żadnej z tych funkcji nie da się przedstawić w postaci kombinacji liniowej pozostałych funkcji.

(2.2) Bazą przestrzeni funkcyjnej nazywa się zbiór liniowo niezależnych funkcji danej przestrzeni.

Baza przestrzeni funkcyjnych ma nieskończenie wiele elementów.

Przykład: Przestrzeń funkcyjna liniowa, unormowana

(3.1) Zbiór $C[0,1]$ wszystkich funkcji ciągłych na odcinku domkniętym $[0,1]$ nad ciałem liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$ tworzy przestrzeń funkcyjną liniową z działaniami dodawania funkcji (1.1) oraz mnożenia funkcji przez skalar (1.2).

(3.2) Jako bazę przestrzeni można wybrać np. funkcje potęgowe określone na zbiorze $[0,1],$ tj. $f_{n}\colon [0,1]\to \mathbb {R} ,f_{n}(x)=x^{n},\;n\in \mathbb {N} .$

(3.3) Funkcje te są liniowo niezależne, a każdą funkcję ciągłą można wyrazić za ich pomocą, np. funkcja wykładnicza wyraża się za pomocą funkcji potęgowych wzorem

$\mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$

(3.4) W przestrzeni tej można zdefiniować normę funkcji wzorem

$\|f\|:=\sup _{x\in [a,b]}{\big |}f(x){\big |},$

co oznacza, że „wielkość” funkcji jest równa największej jej wartości, jaką ma na odcinku $[a,b].$

Wprowadzenie normy tworzy z przestrzeni funkcyjnej przestrzeń unormowaną. Przestrzeń ta należy do ogólniejszej klasy przestrzeni Banacha, dlatego jej ogólne własności są określone przez teorię przestrzeni Banacha.

(3.5) Odległość w przestrzeni jest w naturalny sposób zdefiniowana przez normę

$\|f-g\|:=\sup _{x\in [a,b]}{\big |}f(x)-g(x){\big |}.$

(3.6) Można zdefiniować w tej przestrzeni iloczyn skalarny np. za pomocą całki

$\langle f|g\rangle =\int _{0}^{1}f(x)^{-1}\cdot g(x)\,\,dx.$

Iloczyn skalarny pozwala określić ortogonalność funkcji w przestrzeni: funkcje $f_{n},f_{m}$ są ortogonalne, jeżeli $n\neq m,$ gdyż

$\langle f_{n}|f_{m}\rangle =\int _{0}^{1}f_{n}(x)^{-1}\cdot f_{m}(x)\,\,dx=\int _{0}^{1}x^{m-n}(x)\,\,dx,$

skąd

$\langle f_{n}|f_{n}\rangle =\int _{0}^{1}x^{0}(x)\,\,dx=\int _{0}^{1}1\,\,dx=1$

oraz

$\langle f_{n}|f_{m}\rangle ={\frac {1}{m-n+1}}x^{m-n+1}{\Big |}_{0}^{1}={\frac {1}{m-n+1}}(1^{m-n+1}-0^{m-n+1}),$

pod warunkiem, że przyjmie się $0^{0}=1$ (patrz: Potęgowanie). Taka definicja jest jednak niejednoznaczna dla wszystkich funkcji. Bardziej precyzyjne zdefiniowanie iloczynu skalarnego prowadzi do pojęcia przestrzeni Hilberta.

Przestrzenie funkcyjne w różnych działach matematyki

Przestrzenie funkcyjne pojawiają się w różnych działach matematyki:

• W teorii mnogości zbiór $Y^{X}$ funkcji zbioru $X$ w $Y$ oznacza się także niekiedy symbolem $X\to Y.$
• Jako przypadek szczególny, zbiór potęgowy ${\mathcal {P}}(X)$ zbioru $X$ może być utożamiany ze zbiorem funkcji ze zbioru $X$ w $\{0,1\};$ z tego powodu oznacza się też go symbolem $2^{X}.$
• Zbiór bijekcji z $X$ w $Y$ bywa oznaczany $X\leftrightarrow Y.$ Istnieje także notacja silni $X!$ oznaczająca permutacje zbioru $X.$
• W algebrze liniowej zbiór wszystkich przekształceń liniowych z przestrzeni liniowej $V$ w inną przestrzeń liniową $W$ nad tym samym ciałem sam jest przestrzenią liniową.
• W analizie funkcjonalnej to samo obserwuje się dla ciągłych przekształceń liniowych, biorąc pod uwagę topologie na przestrzeniach liniowych z powyższego przykładu, jak również wiele innych ważnych przykładów obejmuje przestrzenie funkcyjne wyposażone w topologie; najbardziej znanymi przykładami są m.in. przestrzenie Hilberta i przestrzenie Banacha.
• W analizie funkcjonalnej zbiór wszystkich funkcji ze zbioru liczb naturalnych w pewien zbiór $X$ nazywa się przestrzenią ciągową; składa się ona ze zbioru wszystkich możliwych ciągów elementów zbioru $X.$
• W topologii można próbować ustalić topologię na przestrzeni funkcji ciągłych z przestrzeni topologicznej $X$ w inną przestrzeń topologiczną $Y,$ których przydatność zależy od natury tych przestrzeni. Powszechnie używanym przykładem jest topologia zwarto-otwarta, np. przestrzeń pętli. Innym jest topologia produktowa określona na przestrzeni funkcji (niekoniecznie ciągłych) $Y^{X}.$ W tym kontekście topologię tę nazywa się także topologią zbieżności punktowej.
• W topologii algebraicznej teoria homotopii zajmuje się w istocie badaniem dyskretnych niezmienników przestrzeni funkcyjnych.
• W teorii procesów stochastycznych podstawowym problemem technicznym jest skonstruowanie miary probabilistycznej na przestrzeni funkcyjnej ścieżek procesu (funkcje czasu).
• W teorii kategorii przestrzeń funkcyjną nazywa się obiektem wykładniczym bądź eksponentem. Z jednej strony pojawia się on jako reprezentacja bifunktora kanonicznego, ale jako (pojedynczy) funktor typu $[X,\cdot ]$ jawi się on jako funktor dołączony do funktora typu $(\cdot \times X)$ na obiektach.
• w programowaniu funkcyjnym i rachunku lambda wykorzystuje się typy przestrzeni funkcyjnych do wyrażenia idei funkcji wyższego rzędu.
• w teoria dziedzin poszukuje się przede wszystkim konstrukcji opartych na częściowych porządkach, które mogłyby modelować rachunek lambda poprzez uzyskanie porządnej kartezjańsko domkniętej kategorii.

Zobacz też

• przestrzeń Banacha
• przestrzeń Hilberta
• przestrzeń $L_{p}$
• przestrzeń Musielaka-Orlicza
• przestrzeń Orlicza
• przestrzeń Sobolewa

oraz:

• algebra Clifforda
• algebra liniowa
• ciało tensorowe
• teoria spektralna

Bibliografia

• F.W. Byron, R.W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, Warszawa PWN 1975, Tom 1, s. 203–223.