W szerszym znaczeniu parę modułów nazywamy dualną nawet wtedy, kiedy parowanie nie spełnia własności rozdzielania. Wtedy parę dualną nazywamy doskonałą, jeżeli jej parowanie jest niezdegenerowane (jeśli powstała para dwoista jest doskonała, to parowanie również nazywa się wtedy doskonałym). Doskonałe pary dualne umożliwiają utożsamienie jednego modułu z modułem dualnym do drugiego, a więc rozpoznanie danego modułu jako dualnego do innego nawet wtedy, gdy nie został on pierwotnie zdefiniowany w ten sposób.
Trójka dla jest parą dwoistą. Ponadto dla skończeniewymiarowych , odwzorowania
są kanonicznymi izomorfizmami. Dla nieskończeniewymiarowych przestrzeni odwzorowania te są monomorfizmami, ale przynajmniej jedno z nich nie jest bijektywne.[1]
W dowolnym module nad pierścieniem (standardowy) iloczyn skalarny definiuje się podobnie jak w przypadku przestrzeni euklidesowych, tzn. wzorem gdzie jest elementem tego modułu[c]; w szczególności dla parowanie realizowane jest przez zwykłe mnożenie.
W przestrzeni macierzy kwadratowych stopnia nad pierścieniem istnieją dwa „naturalne” parowania: oraz [d]; macierze te można interpretować jako reprezentacjeendomorfizmów przestrzeni liniowej (definicję tę można rozszerzyć na endomorfizmy dowolnych przestrzeni). Podobnie można zdefiniować parę dwoistą dla przestrzeni macierzy i (i odpowiadających im przekształceń liniowych).
Jeśli a oraz są jest ideałami tego pierścienia, to równość umożliwia wskazanie izomorfizmów oraz traktowanych jako -moduły, przez co i można uważać za moduły dualne względem siebie; innymi słowy zachodzi parowanie między tymi modułami dane wzorem
Niech gdzie jest pierścieniem wielomianów, będzie dane wzorem Dla dowolnego zachodzi choć w ogólniej: dla dowolnego o ile
Parowanie dane wzorem jest standardowym parowaniem między modułem a modułem do niego dualnym.
Jeśli oznacza -moduł form dwuliniowych to moduły są izomorficzne[e].
Niech będzie parowaniem między -modułami Może być ono wykorzystane do postrzegania jednego z tych modułów jako „części” modułu dualnego do drugiego: dla każdego wzór definiuje funkcjonał na podobnie dla każdego wzór jest funkcjonałem na Może się zdarzyć, że dla wszystkich przy (zob. czwarty przykład); wynika stąd, że różne elementy zachowują się jak jeden element Jeśli parowanie jest doskonałe, tzn. indukowane przekształcenia liniowe i są jednocześnie izomorfizmami, to taka sytuacja nie może mieć miejsca – umożliwia to utożsamienie jednego modułu z „pełnym” modułem dualnym do drugiego modułu.
Jeśli są skończenie generowanymimodułami wolnymi tej samej rangi, to sprawdzenie doskonałości parowania miedzy nimi wymaga zbadania izomorficzności przekształcenia indukowanego przekształcenie będzie wówczas izomorfizmem, gdyż jest ono dualne do poprzedniego (zamiast izomorficzności wystarczy zbadać, czy homomorfizm liniowy jest epimorfizmem). W przypadku przestrzeni liniowych tego samego skończonego wymiaru wystarczy sprawdzić różnowartościowość (tj. niezdegenerowanie: dla wszystkich tylko gdy lub równoważnie dla istnieje dla którego ), gdyż różnowartościowe przekształcenie liniowe między przestrzeniami liniowymi równego wymiaru jest izomorfizmem.
Parowania w przykładach czwartym, piątym i szóstym nie są doskonałe; parowanie w przykładzie piątym jest doskonałe wtedy i tylko wtedy, gdy przekształcenie naturalne jest izomorfizmem, tzn. moduł jest refleksywny; parowanie w przykładzie szóstym jest doskonałe, jeśli wykorzystać przestrzeń sprzężoną zamiast dualnej (tzn. przestrzeń ciągłych funkcjonałów liniowych). Powyższa uwaga dotycząca przykładu piątego wynika z ogólnej obserwacji: istnienie parowania doskonałego między a pociąga za sobą izomorficzność przekształcenia naturalnego . W ten sposób elementami pary doskonałej mogą być wyłącznie moduły refleksywne.
Niech będą przestrzeniami liniowymi (tzn. modułami) nad wspólnym ciałem. Doskonałe parowanie między a wyznacza na tych przestrzeniach topologie odpowiednio oraz które składają się odpowiednio z otoczeń
W przypadku przestrzeni unormowanej i sprzężonej do niej przestrzeni topologie oraz nazywa się odpowiednio słabą oraz *-słabą. Dowolna przestrzeń Hilberta jest sprzężona względem siebie („samosprzężona”) z iloczynem skalarnym jako parowaniem (doskonałym). Każda przestrzeń lokalnie wypukła (w szczególności przestrzeń unormowana) jest sprzężona do ze względu na formę dwuliniową gdzie oraz zaś jest wartością funkcjonału dla elementu
Parę układów wektorów dla i dla nazywamy układami wzajemnie sprzężonymi, jeśli wynosi dla i w przeciwnym przypadku[1].
Parę baz nazywamy (wzajemnie) sprzężoną, dualną lub dwoistą, jeżeli bazy te są układami wzajemnie sprzężonymi. Relacja relacja sprzężenia baz jest odpowiedniością bijektywną[1].
Każdy z układów wzajemnie sprzężonych jest układem liniowo niezależnym, a jednocześnie każdy układ liniowo niezależny w V ma układ sprzężony. (Dla mniejszego od wymiaru przestrzeni i nie ma jednoznaczności: do można dodać „poprawki” takie, że = 0)
Dla pary dwoistej , , gdzie jeśli jest macierzą odwracalną, bazę dwoistą względem bazy utworzonej z kolumn macierzy tworzą wiersze macierzy odwrotnej.
Wtedy i tylko wtedy, kiedy „macierze przejść” i są wzajemnie odwrotne, dualność przekształconych baz jest równa dualności zwykłych: .
↑Podobnie można utożsamiać dowolną skończeniewymiarową przestrzeń liniową z przestrzenią do niej dualną, gdyż mają one ten sam wymiar, a zatem mają one identyczną strukturę; nie istnieje jednak żaden izomorfizm kanoniczny (jak w przypadku przestrzeni współrzędnych) realizujący ten izomorfizm – zależy on od wyboru układu współrzędnych.
↑Przestrzeń dualna i sprzężona pokrywają się w przypadku skończeniewymiarowym, gdyż wtedy dowolny funkcjonał liniowy jest ciągły (zob. operator liniowy nieciągły).
↑Istotny jest tylko wzór: forma nie musi być dodatnio określona, lecz z pewnością jest niezdegenerowana.
↑Ponieważ i a więc parowanie jest tożsame z poprzednim.
↑Użycie parowania w -moduł daje izomorfizmy między -modułami
↑ abcdefgGrzegorz Cieciura: Konspekt do wykładu z Algebry „C”. Warszawa: Katedra Metod Matematycznych Fizyki – Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2001, s. 108-113.