Twierdzenie Laxa-Milgrama

twierdzenie analizy funkcjonalnej

Twierdzenie Laxa–Milgramatwierdzenie analizy funkcjonalnej dowiedzione w 1954 roku przez Petera Laxa i Arthura Milgrama, które uogólnia twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału określonego na przestrzeni Hilberta.

Twierdzenie to, wraz z uogólnieniami zebranymi w osobnej sekcji, znalazło zastosowanie w teorii równań różniczkowych cząstkowych, gdzie dając warunki „odwracalności” funkcjonału dwuliniowego, umożliwia wykazanie istnienia i jednoznaczności słabych rozwiązań eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych (z różnymi zagadnieniami brzegowymi), zob. Zastosowania i Przykłady.

Twierdzenie

edytuj

Niech   będzie przestrzenią Hilberta nad ciałem liczb zespolonych (bądź liczb rzeczywistych) z iloczynem skalarnym   indukującym normę   zaś   będzie funkcjonałem półtoraliniowym (bądź dwuliniowym) na tej przestrzeni, który spełnia dla pewnych skalarów   oraz dowolnych wektorów   warunki:

  • ograniczoności,
     
  • koercywności lub eliptyczności,
     

Wówczas każdy ograniczony funkcjonał liniowy jest postaci

 

gdzie   jest jednoznacznie wyznaczonym przez   elementem  

Dowód

edytuj

Z ograniczoności i eliptyczności   wynika, że   jest ograniczonym funkcjonałem liniowym, który z twierdzenia Riesza można zapisać w postaci

 

dla pewnego   przy czym element ten jest wyznaczony jednoznacznie przez   zatem może być traktowany jako funkcja zmiennej   więcej, z powyższego wzoru wynika, że zależność ta jest liniowa, co oznacza, że zbiór elementów   wskazanych w tym wzorze przy ustalonym   tworzy przestrzeń liniową.

Zdefiniowana wyżej podprzestrzeń jest domknięta. Otóż przyjmując   otrzymuje się

 

co przy zastosowaniu eliptyczności do lewej, a nierówności Schwarza do prawej strony tej równości i podzieleniu jej przez   daje oszacowanie

 

Niech   będzie ciągiem wyznaczanym przez   zaś   będzie ciągiem odpowiadającym poprzedniemu poprzez wzór

 

wtedy odejmowanie i półtoraliniowość (dwuliniowość) dają   co przy podanym wyżej oszacowaniu daje, iż   skąd zbieżność   pociąga, że   jest ciągiem Cauchy’ego; zupełność   daje zbieżność   Ograniczoność   zapewnia o zbieżności   zaś nierówność Schwarza prowadzi do zbieżności   (tzw. słabej zbieżności  ), która dowodzi już domkniętości wspomnianej podprzestrzeni.

Opisana wyżej domknięta podprzestrzeń to cała przestrzeń   gdyż w przeciwnym razie z twierdzenia o zbiorze wypukłym wynikałoby istnienie niezerowego wektora   ortogonalnego do wszystkich   Z postaci   można by wnosić, że taki   spełniałby   dla wszystkich   Jednakże przyjęcie   pociągałoby   które wraz z eliptycznością   dałoby   pozostające w sprzeczności z  

Ostatecznie twierdzenie Riesza mówi, że wszystkie funkcjonały   mogą być przedstawione jako   gdzie   co w połączeniu z postacią   daje tezę, przy czym jednoznaczność wynika z eliptyczności.

Uogólnienia

edytuj

W 1971 roku Ivo Babuška podał następujące uogólnienie wyniku Laxa i Milgrama, w którym zrezygnował on wymagania, by funkcjonał dwuliniowy określony był na wspólnej przestrzeni.

Twierdzenie Babuški–Laxa–Milgrama
Niech   oraz   będą dwiema rzeczywistymi przestrzeniami Hilberta, a   będzie ciągłym przekształceniem dwuliniowym, które jest ponadto
  • „słabo koercywne”: dla pewnej stałej   i wszystkich   zachodzi
 
oraz dla niezerowego   i pewnej stałej   spełnia
 
Wówczas dla wszystkich   istnieje jednoznacznie wyznaczone rozwiązanie   słabego sformułowania (zob. Zastosowania)
 
Więcej, rozwiązanie to zależy w sposób ciągły od danych, tzn.
 

Inne uogólnienie twierdzenia Laxa-Milgrama pochodzi od Jacques’a-Louisa Lions.

Twierdzenie Lions–Laxa–Milgrama
Niech   będzie przestrzenią Hilberta,   oznacza przestrzeń unormowaną, zaś   będzie ciągłym przekształceniem dwuliniowym. Wówczas następujące warunki są równoważne:
  • „słaba koercywność”: dla pewnego skalara   zachodzi
     
  • „słaba odwracalność”: dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego   istnieje taki element   dla którego zachodzi
     

Powyższe twierdzenie stosuje się zwykle pod postacią następującej obserwacji, której założenia pojawiają się dość często i są względnie łatwe do sprawdzenia w zastosowaniach praktycznych.

Wniosek
Niech   będzie zanurzona w sposób ciągły w   jeśli   jest
  •  -eliptyczna, czyli dla pewnego   i wszystkich   zachodzi
     
  • koercywna, dla pewnego   i każdego   jest
     
to spełniony jest warunek „słabej koercywności” twierdzenia Lions–Laxa–Milgrama (skąd wynika istnienie „słabej odwrotności”)

Zastosowania

edytuj

Na pytanie o istnienie i jednoznaczność rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych istnieje odpowiedź w postaci twierdzenia Picarda-Lindelöfa; jego odpowiednik dla równań różniczkowych cząstkowych, twierdzenie Cauchy’ego-Kowalewskiej, mówi z kolei, że zagadnienie Cauchy’ego dowolnego równania różniczkowego cząstkowego o współczynnikach analitycznych względem poszukiwanej funkcji i jej pochodnych ma lokalnie jednoznaczne rozwiązanie analityczne. Choć wynik ten zdaje się rozwiązywać problem istnienia i jednoznaczności rozwiązań, to istnieją jednak przykłady liniowych równań różniczkowych cząstkowych o współczynnikach mających pochodne wszystkich rzędów (choć nieanalitycznych), które mimo tego nie mają rozwiązań. Jeśli nawet rozwiązanie równania różniczkowego cząstkowego istnieje i jest jednoznaczne, to może ono mieć niepożądane własności[a]; jeżeli równanie inspirowane było naukami przyrodniczymi, to może nie mieć ono przez to satysfakcjonującego w nich zastosowania.

Właściwą odpowiedzią na bolączki teorii klasycznej okazało się osłabienie niektórych jej założeń. Jednym z najważniejszych sposobów jest przyzwolenie na to, że rozwiązania nie muszą być dobrze określonymi funkcjami w klasycznym sensie, lecz mogą być słabymi rozwiązaniami względem pewnych wektorów lub funkcji testowych (tzn. dystrybucjami. Zwykle należą one do pewnej przestrzeni Sobolewa), a przy tym nie muszą być wcale różniczkowalne – z punktu widzenia zastosowań brak tego wymogu jest bardzo pożądany, gdyż w modelowaniu zjawisk świata rzeczywistego nieustannie napotyka się równania, które nie mają dostatecznie gładkich rozwiązań. Wówczas wygodnie jest udowodnić najpierw istnienie słabych rozwiązań, a dopiero potem wykazać ich wystarczającą gładkość.

Niech   będzie przestrzenią Banacha; należy znaleźć rozwiązanie   równania

 

gdzie   oraz   jest funkcjonałem liniowym na   czyli elementem przestrzeni sprzężonej   Opierając się na metodach rachunku wariacyjnego powyższe zagadnienie można przedstawić jako poszukiwanie takiego   że dla wszystkich   zachodzi

 

przy czym element   nazywa się wektorem testowym lub funkcją testową (gdy   jest przestrzenią funkcji). Powyższe równanie można przedstawić w ogólnej postaci słabego sformułowania: znalezienia   które spełniałoby dla wszystkich   równanie

 

poprzez zadanie funkcjonału dwuliniowego wzorem   Konkretne przykłady można znaleźć w kolejnej sekcji.

Osiągnięciem Laxa i Milgrama było wskazanie warunków wystarczających na to, by dane zagadnienie w słabych sformułowaniu miało jednoznaczne rozwiązanie zależące w sposób ciągły od danych   otóż wystarczy by   było przestrzenią Hilberta, a funkcjonał   (będący często pewną modyfikacją iloczynu skalarnego) na niej określony był ograniczony, czyli ciągły, i koercywny; tezę twierdzenia uzupełnia się niekiedy o oszacowanie normy rozwiązania   równania   mianowicie   (pojawia się ono jako wiersz dowodu). Wkładem Babuški było przyjęcie, iż   jest parowaniem między przestrzeniami Hilberta (słabe rozwiązania i wektory testowe), podczas gdy Lions zakłada, iż parowanie ma miejsce między przestrzeniami Hilberta (słabe rozwiązania) i unormowaną (wektory testowe).

Przykłady

edytuj
Układ równań liniowych

Użycie twierdzenia Laxa–Milgrama w tym wypadku jest „strzelaniem z armaty do wróbla”, jednak przykład ten umożliwia wgląd w bardziej skomplikowane przypadki. Niech   będzie przestrzenią unitarną (tj. przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym), a   będzie przekształceniem liniowym opisującym układ równań liniowych. Rozwiązanie równania   w słabym sformułowaniu polega na poszukiwaniu takiego   że dla wszystkich   spełnione jest równanie

 

gdzie   oznacza standardowy iloczyn skalarny (będący funkcjonałem dwuliniowym). Ponieważ   jest przekształceniem liniowym, to do testowania wystarczające są wektory bazowe (zob. twierdzenie), skąd otrzymuje się

 

Korzystając z zapisu macierzowego wektory   i   oraz przekształcenie   można przedstawić w postaci macierzy, odpowiednio   i   oraz   gdzie   zaś   daje to następującą macierzową postać problemu   Związany z tym słabym sformułowaniem funkcjonał dwuliniowy dany jest wzorem

 

gdzie kropka oznacza standardowy iloczyn skalarny macierzy (zdefiniowany kolejną równością), zaś   oznacza transponowanie macierzy.

Ograniczoność powyższego funkcjonału dwuliniowego wynika ze skończonego wymiaru przestrzeni   w rzeczywistości   Z kolei koercywność oznacza w istocie, że części rzeczywiste wartości własnych   nie są mniejsze od   w szczególności żadna wartość własna nie jest zerem, skąd układ jest rozwiązalny. Ponadto otrzymuje się oszacowanie   gdzie   jest najmniejszą częścią rzeczywistą wartości własnej  

Równanie Poissona
Zobacz też: równanie Poissona.

Poszukiwane będą rozwiązania równania Poissona,

 

na dziedzinie   dla której   na jej brzegu; przestrzeń rozwiązań   zostanie dookreślona w dalszej kolejności. Do wyprowadzenia słabego sformułowania wykorzystany zostanie iloczyn skalarny przestrzeni Lebesgue’a  

 

dany za pomocą całki Lebesgue’a po zbiorze   względem miary Lebesgue’a   testowanie odbywać się będzie za pomocą funkcji różniczkowalnych   dzięki czemu słabe sformułowanie przyjmuje postać

 

Lewą stronę tego równania można uczynić bardziej symetryczną korzystając z całkowania przez części w oparciu o tożsamość Greena,

 

Powyższe równanie nazywa się zwykle słabym sformułowaniem równania Poissona; jedyne czego brakuje to przestrzeń   Wskazanie jej jest nieco kłopotliwe i dlatego zostanie ono tutaj pominięte: z pewnością musi ona nadawać sens temu równaniu, dlatego od pochodnych funkcji w tej przestrzeni powinno wymagać się całkowalności z kwadratem; własności te ma np. przestrzeń Sobolewa   funkcji o słabych pochodnych w   (przestrzeń   jest podprzestrzenią liniową  ) ze wskazanymi warunkami brzegowymi (tj.   na brzegu  ). Standardową postać słabego sformułowania otrzymuje się przyjmując

 

oraz

 

Przy powyższej propozycji wyboru   norma na tej przestrzeni zadana jest wzorem   gdzie norma po prawej stronie jest normą   na   (o poprawności tego wzoru zapewnia nierówność Poincarégo). Ponieważ   i z nierówności Cauchy’ego-Schwarza wynika, że   to dla każdego   istnieje jednoznacznie wyznaczone rozwiązanie   równania Poissona, które spełnia  

  1. Przykładem może być ciąg zagadnień Cauchy’ego (zależny od  ) równania Laplace’a   z warunkami brzegowymi   oraz   dla całkowitego   Pochodna funkcji   względem   zbiega jednostajnie do   wraz ze wzrostem   jednak rozwiązanie   zbiega do nieskończoności, jeśli   nie jest całkowitą wielokrotnością   dla dowolnej niezerowej wartości   czyli nie zależy w sposób ciągły od danych zagadnienia.

Bibliografia

edytuj
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2.