Funkcja rzeczywista

funkcja o wartościach rzeczywistych

Funkcja rzeczywistafunkcja, której przeciwdziedzina jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych[1]; innymi słowy jest to funkcja o wartościach rzeczywistych: f:XY, Y⊆ℝ. Czasem znaczenie tego terminu jest:

Masa to przykład funkcji o wartościach rzeczywistych.
Prawdopodobieństwo formalizuje się jako rodzaj funkcji o wartościach rzeczywistych.

Teorię funkcji rzeczywistych zalicza się do analizy matematycznej[potrzebny przypis], choć funkcje rzeczywiste rozumiane szeroko pojawiają się też w innych dyscyplinach:

Fundamentem fizyki i całej nauki empirycznejwielkości mierzalne określone funkcjami rzeczywistymi – nie tylko te geometryczne (odległość, długość, pole powierzchni, objętość, miara kąta), ale też masa, temperatura czy ładunek elektryczny.

Podtypy i problemy

edytuj
 
Wykres przykładowej funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych

Funkcja rzeczywista może być określona w sposób jawny lub uwikłany. Ponieważ zbiór liczb rzeczywistych jest uporządkowany, funkcje o wartościach rzeczywistych można podzielić na ograniczone i nieograniczone oraz wyróżniać ekstrema globalne. Zagadnieniom tego typu są poświęcone całe dyscypliny matematyczne jak rachunek wariacyjny.

Jeśli dziedzina jest wyposażona w dodatkowe struktury, to dla takich funkcji można definiować dalsze pojęcia i wyróżniać szczególne klasy:

Funkcje rzeczywiste same bywają używane do definiowania pewnych struktur, np. przestrzeni metrycznych i pseudometrycznych.

Rozwinięto teorie równań funkcyjnych – zwłaszcza różniczkowych i różnicowych – w których niewiadomymi są funkcje rzeczywiste. Równania takie można rozwiązywać w sposób przybliżony, rozważając ciągi funkcyjne; dzieje się tak, ponieważ funkcje rzeczywiste z ustalonego zbioru tworzą przestrzeń topologiczną, przez co wśród ciągów takich funkcji można wyróżnić te zbieżne. Wszystkie funkcje rzeczywiste z ustalonego zbioru tworzą także przestrzeń liniową, a konkretniej liniowo-topologiczną. Przez to takie przestrzenie funkcyjne należą do obszaru badań analizy funkcjonalnej.

Przypadek zmiennej rzeczywistej

edytuj
 
Rozkład Gaussa – przykład często używanej, przestępnej funkcji elementarnej
 
Funkcja dzeta Riemanna w dziedzinie rzeczywistej

Do funkcji tego rodzaju stosują się wszystkie powyższe koncepcje i niektóre dodatkowe zagadnienia, np. szczególne rodzaje nieciągłości i punkty przegięcia. Oprócz tego:

Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej dzieli się na elementarne i specjalne. Wśród tych pierwszych wyróżnia się funkcje algebraiczne, a pozostałe nazywa przestępnymi. Do funkcji algebraicznych zalicza się rzeczywiste funkcje wymierne, w tym rzeczywiste wielomiany. Wśród elementarnych funkcji przestępnych szczególnie często używane są funkcje wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne oraz wartość bezwzględna i różne funkcje schodkowe.

Funkcje tego typu są niewiadomymi w równaniach różniczkowych zwyczajnych.

Przypisy

edytuj

Bibliografia

edytuj

Literatura dodatkowa

edytuj

Linki zewnętrzne

edytuj