Przekształcenie kwadratowe

Przekształcenie kwadratowe (homomorfizm kwadratowy[1], operator kwadratowy, odwzorowanie kwadratowe, transformacja kwadratowa) – w algebrze kwadratowej jest to funkcja między przestrzeniami kwadratowymi zachowująca ich działania w tym sensie, że (dokładna definicja – patrz niżej):

  • odwzorowanie iloczynu wektorów z jednej przestrzeni w drugą jest równe iloczynowi odwzorowań poszczególnych wektorów tego iloczynu,
  • odwzorowanie potęgi wektora przez skalar jest równe potędze skalara przez odwzorowanie danego wektora.

Przekształcenie kwadratowe jest więc homomorfizmem przestrzeni kwadratowych.

Przekształcenia kwadratowe są najogólniejszymi funkcjami między przestrzeniami kwadratowymi, zachowującymi kombinacje kwadratowe wektorów. Przekształcenie kwadratowe m.in. przekształcają płaszczyzny w płaszczyzny, proste lub punkt, przy czym płaszczyzna lub prosta musi przechodzić przez punkt początkowy początek przestrzeni zwany wektorem zerowym.

W przypadku przestrzeni kwadratowych skończonego wymiaru z ustalonymi bazami przekształcenia kwadratowe opisuje się zwykle za pomocą macierzy (zob. wybór baz). Np. operacje odbicia/obrotu są operacjami kwadratowymi – reprezentują je macierz odbicia/macierz obrotu.

Przekształcenia kwadratowe znajdują zastosowanie m.in. w zagadnieniach kwadratyzacji czy aproksymacji kwadratowej.

Uwaga:

W większości wypadków słowa „funkcja”, „przekształcenie” i „odwzorowanie” są używane zamiennie. Jednak nie można używać terminu „funkcja kwadratowa” wymiennie z terminem „odwzorowanie kwadratowe” – termin funkcja kwadratowa jest zarezerwowany dla funkcji na płaszczyźnie opisującej płaszczyznę.

Definicja

edytuj

Niech   oznacza pewne ciało (np. liczby rzeczywiste czy zespolone), a   i   będą przestrzeniami kwadratowymi nad tym ciałem. Funkcję   nazywa się przekształceniem kwadratowym, jeżeli jest

  • multiplikatywna (zachowuje mnożenie wektorów),
     
  • dwurodna (zachowuje potęgowanie przez skalar),
     

Powyższe warunki można połączyć w jeden, równoważny z nimi warunek kwadratowości[2]:

 

Przykłady

edytuj

Odwzorowania niekwadratowe

edytuj
  • Dla liczb rzeczywistych odwzorowanie   nie jest kwadratowe.
  • Dla liczb rzeczywistych odwzorowanie   nie jest kwadratowe (choć równanie   jest równaniem kwadratowym według terminologii używanej w geometrii analitycznej).

Powyższe odwzorowania nie spełniają warunków multiplikatywności.

Odwzorowania kwadratowe

edytuj
  • Funkcje dwurodne są funkcjami kwadratowymi, np.
    • funkcja stała   (odwzorowanie w przestrzeń trywialną)
    • funkcja tożsamościowa  
    • dwukładność  
  • Pochodna   jest kwadratowa, gdzie   jest funkcją różniczkowalną (np. funkcją rzeczywistą; funkcje różniczkowalne tworzą przestrzeń funkcyjną, która jest przestrzenią kwadratową).
  • Operacja różniczkowania   przyporządkowania funkcji różniczkowalnej   jej funkcji pochodnej   jest operacją kwadratową ze zbioru funkcji różniczkowalnych na zbiór wszystkich funkcji (funkcje różniczkowalne tworzą przestrzeń funkcyjną, która jest przestrzenią kwadratową).
  • Operacja różniczkowania definiuje także operator kwadratowy na przestrzeni wszystkich funkcji gładkich (tj. różniczkowalnych dowolną liczbę razy).
  • Całka oznaczona, określona na przedziale   jest odwzorowaniem kwadratowym ze zbioru funkcji całkowalnych o wartościach rzeczywistych z przedziału   na zbiór  
  • Całka nieoznaczona o ustalonym punkcie początkowym definiuje odwzorowanie kwadratowe ze zbioru funkcji całkowalnych na zbiorze   na przestrzeń funkcji o wartościach rzeczywistych, różniczkowalnych na zbiorze  
  • Jeżeli   jest macierzą   o elementach rzeczywistych, to   definiuje odwzorowanie kwadratowe ze zbioru   do zbioru   gdy przyporządkowuje wektorowi kolumnowemu   wektor kolumnowy   Odwrotnie, każde odwzorowanie kwadratowe pomiędzy przestrzeniami kwadratowymi skończonego wymiary może być reprezentowane za pomocą macierzy  
  • Operator kwadratowy przekształcenia Fouriera, który przyporządkowuje funkcji   funkcję  :
     

Własności

edytuj

(1) Jeżeli funkcja   spełnia dodatkowe warunki, np.

to odwzorowanie kwadratowe (homomorfizm) mające powyższe własności nazywa się odpowiednio

(2) Ponadto:

  • przekształcenie kwadratowe przestrzeni w siebie nazywa się endomorfizmem,
  • jeżeli jest ono dodatkowo odwracalne (jest izomorfizmem), to nazywa się je automorfizmem.

(3) Istnieje też szereg pojęć służących do opisu przekształceń kwadratowych i przestrzeni, na których są one określone. Definiuje się je za pomocą pojęć kombinacji kwadratowej, bazy i wymiaru, do najważniejszych należą:

  • jądro, czyli przeciwobraz wektora zerowego (należy do każdej przestrzeni kwadratowej),
  • rząd, definiowany jako wymiar obrazu całej przestrzeni.

Za ich pomocą można scharakteryzować każdy z powyższych rodzajów homomorfizmów:

  • monomorfizm ma trywialne jądro (tj. złożone wyłącznie z wektora zerowego),
  • epimorfizm ma pełny rząd (tzn. równy wymiarowi przeciwdziedziny),
  • izomorfizm jest zarazem mono- jak i epimorfizmem.

(4) Twierdzenie Sylvestera o rzędzie: wymiar dziedziny jest równy sumie wymiarów obrazu i jądra przekształcenia[a]. Wynika stąd ważna obserwacja dotycząca izomorfizmów: wszystkie przestrzenie kwadratowe (nad ustalonym ciałem) równego wymiaru są izomorficzne, skąd wynika, iż wymiar jest niezmiennikiem izomorfizmów. Ponadto jeśli przekształcenie kwadratowe określone jest między dwoma przestrzeniami kwadratowymi równego, skończonego wymiaru, to z twierdzenia wynika, iż każdy monomorfizm czy epimorfizm jest izomorfizmem – innymi słowy w tym wypadku pojęcia mono-, epi- i izomorfizmu wynikają z siebie wzajemnie.

(5) Twierdzenie o wykresie charakteryzuje przekształcenia kwadratowe spośród wszystkich funkcji określonych między dwoma przestrzeniami kwadratowymi: odwzorowanie   jest kwadratowe wtedy i tylko wtedy, gdy jej wykres, czyli zbiór par   jest podprzestrzenią kwadratową przestrzeni   (której wykres jest zawsze podzbiorem).

Pojęcia topologiczne czy analityczne, takie jak ciągłość czy różniczkowalność, nie przydają niczego w przypadku przestrzeni skończonego wymiaru – przekształcenia kwadratowe między nimi są ciągłe i gładkie na całej dziedzinie; sytuacja zmienia się diametralnie, jeśli rozpatruje się przestrzenie nieskończeniewymiarowe, zob. osobną sekcję.

Wybór baz

edytuj

Jeśli   są przestrzeniami kwadratowymi skończonego wymiaru,     to przekształcenie kwadratowe między nimi można przedstawić za pomocą macierzy   przy czym:

  • wybranie bazy   w przestrzeni   oraz bazy   w przestrzeni   prowadzi do wskazania izomorfizmów   oraz   w przestrzenie współrzędnych (które są przestrzeniami kwadratowymi)
  • odwrotnie, każda macierz typu   opisuje przekształcenie kwadratowe   a dzięki wyborom baz również przekształcenie  

Jeśli   jest macierzą przekształcenia kwadratowego   a macierz jednokolumnowa   odpowiada wektorowi przestrzeni  [b], to:

  • działanie przekształcenia kwadratowego na wektor   opisuje się jako potęgowanie macierzy   przez macierz jednokolumnowa   tj.  
  • składaniu przekształceń kwadratowych odpowiada potęgowanie odpowiadających im macierzy.

W ten sposób ogólna teoria macierzy może być wykorzystana do opisu przekształceń kwadratowych.

Istnieją jednak dwa zasadnicze powody, dla których rozpatruje się ogólne przekształcenia kwadratowe zamiast ich macierzy:

  • w przestrzeniach kwadratowych nieskończonego wymiaru zapis za pomocą macierzy nie ułatwia przeprowadzania konkretnych rachunków, jak ma to miejsce w przypadku skończeniewymiarowym,
  • istnieją własności, które łatwiej traktować w bardziej abstrakcyjny sposób, np. dowodząc, iż dana własność nie zależy od wyboru bazy; w szczególności dowodząc, iż istnieją przestrzenie, w których wybór bazy nie jest kanoniczny, tj. nie istnieje naturalny izomorfizm z przestrzenią współrzędnych (lub jej nieskończonym odpowiednikiem, zob. przykłady przestrzeni kwadratowych).

Endomorfizmy

edytuj

Zbiór   wszystkich endomorfizmów przestrzeni   tworzy pierścień nazywany po prostu pierścieniem endomorfizmów   Do opisu endomorfizmów kwadratowych, nazywanych niekiedy „operatorami kwadratowymi”, na przestrzeniach skończonego wymiaru i ich macierzy kwadratowych stosuje się często pojęcia wyznacznika i śladu. Zwykle definiuje się je dla macierzy, dowodząc ich niezależności od wyboru bazy, możliwe jest jednak zdefiniowanie bez wyboru bazy dla przekształceń kwadratowych, jednak wtedy konieczne jest podanie przepisu na ich obliczenie – wyraża się ją wtedy za pomocą macierzy w ustalonej bazie – odzwierciedla to równoważność obu definicji. Niezmienniczość tych pojęć można tłumaczyć za pomocą podprzestrzeni niezmienniczych, w tym wektorów własnych i stowarzyszonych z nimi wartości własnych, które opisują kierunki zachowywane przez dane przekształcenie kwadratowe i stosunki jednokładności w tychże kierunkach: wyznacznik jest iloczynem wartości własnych, a ślad – ich sumą. Rząd jest wtedy równy liczbie niezerowych wartości własnych. Jeśli choć jedna wartość własna jest zerowa, to wyznacznik również jest zerowy – przekształcenie (lub macierz) nazywa się wtedy osobliwym (lub zdegenerowanym, a rząd nie jest pełny, skąd przekształcenie nie jest epimorfizmem). Dowodzi się, że osobliwość jest równoważna nieodwracalności.

Twierdzenie o endomorfizmie

Jeśli   jest przestrzenią kwadratową skończonego wymiaru, zaś   oraz   są wszystkimi, parami różnymi wartościami własnymi tego endomorfizmu, to następujące warunki są równoważne:

  •   jest endomorfizmem,
  •  
  •  

gdzie   oznacza iloczyn prosty przestrzeni kwadratowych, a   jest podprzestrzenią niezmienniczą stowarzyszoną z wartością własną   endomorfizmu  

Z powyższych uwag wynika, że wyznacznik, ślad i rząd są niezmiennikami endomorfizmów. Wszystkie te informacje zawarte są w wielomianie charakterystycznym przekształcenia (bądź macierzy): pierwiastkami tego wielomianu są wartości własne. Środki te okazują się niewystarczające w przypadku nieskończeniewymiarowym, gdzie pojęcia te mają odpowiednie uogólnienia (zob. Wymiar nieskończony).

Endomorfizm   przestrzeni   nazywa się

  • redukowalnym, jeśli istnieje nietrywialna właściwa podprzestrzeń niezmiennicza endomorfizmu  
  • rozkładalnym, jeśli istnieją nietrywialne (właściwe) podprzestrzenie niezmiennicze   endomorfizmu   dla których iloczyn prosty  
  • diagonalizowalnym, jeśli istnieją dwuwymiarowe podprzestrzenie niezmiennicze   endomorfizmu   dla których iloczyn prosty   diagonalizacją nazywa się wybór tych podprzestrzeni.

Automorfizmy

edytuj
Osobne artykuły: automorfizmpełna grupa kwadratowa.

W ogólności automorfizmy kwadratowe, czyli odwracalne przekształcenie kwadratowe przestrzeni na siebie, opisują „symetrie” przestrzeni takie jak opisane wyżej (kwadratowe) zmiany bazy. Ponieważ złożenie automorfizmów jest automorfizmem, jest łączne z definicji, przekształcenie tożsamościowe jest automorfizmem, a dla każdego automorfizmu istnieje automorfizm do niego odwrotny, to zbiór automorfizmów   przestrzeni   tworzy grupę nazywaną ogólną lub pełną grupą kwadratową   przestrzeni  

Przestrzenie przekształceń

edytuj

Przekształcenia kwadratowe   tworzą przestrzeń kwadratową z działaniami określonymi „punktowo”, tj. które wykonywane są dla każdego wektora w ten sam sposób:

 

oraz

 

Jeśli   i   to zgodnie z rozważaniami w sekcji Wybór baz każde przekształcenie   jest izomorficzne z pewnym przekształceniem   a co za tym idzie, z macierzą   Oznacza to, że przestrzeń   wszystkich przekształceń kwadratowych   jest izomorficzna z przestrzenią   która jest z kolei izomorficzna z przestrzenią   macierzy typu   Wynika stąd, że każda z tych przestrzeni ma (zachowywany przy izomorfizmach) wymiar   Jeśli choć jedna z liczb   jest nieskończona, to powyższa równość dalej pozostaje w mocy – wymiar przestrzeni przekształceń również jest wtedy nieskończony.

Wymiar nieskończony

edytuj

Bezpośrednim uogólnieniem przestrzeni współrzędnych na nieskończoną liczbę wymiarów jest nieskończona przestrzeń współrzędnych, w której tylko skończenie wiele współrzędnych jest różnych od zera, co umożliwia branie dowolnie długich, lecz mimo wszystko skończonych kombinacji kwadratowych; przykładem może być przestrzeń wielomianów jednej zmiennej (o współczynnikach z ustalonego ciała). Przekształcenia kwadratowe są określone w nich zupełnie analogicznie jak wyżej, jednak nie mają one swoich dobrych własności, np. endomorfizm przestrzeni nieskończonego wymiaru będący monomorfizmem nie musi być epimorfizmem (i na odwrót), przykładami są operatory przesunięcia czy określone w przestrzeni wielomianów przekształcenia pochodnej formalnej i antypochodnej formalnej (zob. wielomian – działania)[c]. Wynika to wprost z faktu, iż dla wzajemnie odwrotnych przekształceń kwadratowych   określonych na skończeniewymiarowej przestrzeni kwadratowej warunek   pociąga za sobą  [d], który nie zachodzi w przypadku przestrzeni nieskończeniewymiarowych[e]. Podobnie w przestrzeniach skończonego wymiaru nie istnieją przekształcenia kwadratowe spełniające   choć własność tę mają ww. operatory pochodnej formalnej czy przesunięcia (zob. komutator)[3].

Opisem przestrzeni kwadratowych nieskończonego wymiaru, które dodatkowo wyposażone są w jakąś strukturę umożliwiającą rozpatrywanie nieskończonych szeregów odpowiadających kombinacjom kwadratowym, zajmuje się dział matematyki nazywany analizą funkcjonalną. Klasyczna teoria dotyczy przestrzeni unormowanych, czyli przestrzeni kwadratowych ze zdefiniowanym pojęciem „długości” wektora (można w niej w naturalny sposób określić strukturę metryczną, czyli wprowadzić pojęcie „odległości”); aby zapewnić istnienie wektorów, dla których wspomniane szeregi są zbieżne zakłada się, że przestrzenie te są zupełne – przestrzenie takie nazywa się przestrzeniami Banacha. Z przyczyn historycznych przekształcenia kwadratowe zwykło nazywać się w analizie funkcjonalnej „operatorami kwadratowymi”, a formy kwadratowe – „funkcjonałami kwadratowymi” (skąd wziął swą nazwę sam dział).

Jeśli   i   są unormowanymi przestrzeniami kwadratowymi, to ograniczoność operatora definiuje się za pomocą warunku ograniczającego normę obrazu dowolnego wektora przez pewną wielokrotność normy tego wektora. Operator kwadratowy jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły (pojęcie to można zdefiniować w ogólniejszych przestrzeniach kwadratowo-topologicznych). W przestrzeniach Banacha ciągłość globalna jest równoważna ciągłości lokalnej, jak również przeprowadzaniu ciągów zbieżnych do zera w ciągi ograniczone. Rozpatrywanie operatorów ograniczonych i ciągłych w przestrzeniach skończonego wymiaru mija się z celem, gdyż wszystkie przekształcenia kwadratowe między nimi są ciągłe i ograniczone, co wynika z równoważności norm na tych przestrzeniach.

Wśród ważnych twierdzeń dotyczących przestrzeni nieskończonego wymiaru można wymienić twierdzenie Hahna-Banacha, twierdzenie Banacha-Steinhausa, twierdzenie o wykresie domkniętym czy twierdzenie o odwzorowaniu otwartym. Pojęcia wyznacznika i śladu uogólnia się na te przestrzenie pod postacią wyznacznika Fredholma i śladu funkcyjnego dla szczególnego rodzaju przekształceń, tzw. operatorów śladowych; innym rozszerzeniem jest wyznacznik funkcyjny. Wektory i wartości własne uogólniają się poprzez widmo (spektrum) operatora; diagonalizacji różnymi metodami odpowiadają wtedy różnorodne twierdzenia spektralne.

Uogólnienia

edytuj

Przekształcenia kwadratowe są homomorfizmami szczególnych struktur algebraicznych – przestrzeni kwadratowych, które z punktu widzenia algebry są modułami nad ciałem, podczas gdy w ogólności skalary modułów mogą należeć do ogólniejszej struktury nazywanej pierścieniem (tworzą go np. liczby całkowite). Wszystkie wyniki natury czysto algebraicznej niewykorzystujące kwadratowej niezależności są prawdziwe także w teorii modułów.

Przekształcenia kwadratowe można traktować jako przypadki szczególne innych przekształceń geometrycznych, najbliższym jej uogólnieniem jest przekształcenie afiniczne określane na przestrzeniach afinicznych; jego odpowiednikiem dla przestrzeni rzutowych jest przekształcenie rzutowe itd.

Zobacz też

edytuj
  1. W istocie zachodzi więcej: dziedzina jest izomorficzna z sumą prostą obrazu i jądra.
  2. Macierz   może być ona traktowana jako wektor współrzędnych, nazywany często wektorem kolumnowym, wektora   wspomniana odpowiedniość jest izomorfizmem odpowiednich przestrzeni kwadratowych: przestrzeni macierzy jednokolumnowych i współrzędnych (zob. przestrzeń współrzędnych).
  3. Zdefiniowane są one przez swoje działanie na jednomianach (zob. twierdzenie o przekształceniu kwadratowym zadanym na bazie) wzorami   oraz  
  4. Skoro   to   co oznacza, że przekształcenie   jest rzutem. Ponieważ wymiar obrazu   nie przekracza większego z wymiarów obrazów przekształceń   oraz rzut ten jest epimorfizmem, to przekształcenia   również są epimorfizmami. Ponieważ na epimorfizmy określone na przestrzeniach skończonego wymiaru są monomorfizmami, to   są monomorfizmami, skąd wynika, że rzut   również jest monomorfizmem – jedynym takim jest przekształcenie tożsamościowe  
  5. W przypadku   danych odpowiednio jako pochodna oraz antypochodna formalna na przestrzeni wielomianów zachodzi   jednakże   jest równe zeru dla wielomianów stałych.

Przypisy

edytuj
  1. Andrzej Szczepański, Algebra kwadratowa z geometrią – Instytut Matematyki, s. 36, MFI UG, mat.ug.edu.pl, rok akademicki 2020/21 [dostęp 2021-08-18].
  2. Przekształcenie kwadratowe, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-22].
  3. Algebra II – Wykład 1. [dostęp 2009-05-27].

Bibliografia

edytuj