Klemens Murańka podczas treningów przed debiutanckim PŚ w Zakopanem 2008
Jego pierwszym trenerem był pierwszy polski medalista zimowych igrzysk olimpijskichFranciszek Gąsienica Groń. Latem 2004 opiekunem Murańki został specjalista ds. szkolenia młodych skoczków Józef Jarząbek z klubu TS Wisła-Zakopane. 31 sierpnia 2004 (w dniu swoich 10. urodzin) Klimek zasłynął skokiem na 135,5 metra na Wielkiej Krokwi w Zakopanem (zaledwie 4,5 metra mniej od oficjalnego rekordu obiektu). 14 października 2007 odniósł swój pierwszy sukces seniorski, zajmując 3. miejsce podczas letnich mistrzostw Polski na skoczni normalnej (na zakopiańskiej Średniej Krokwi). 26 grudnia 2007 podczas zimowych mistrzostw Polski na Wielkiej Krokwi w Zakopanem zajął 2. miejsce (w zawodach nie startował jednak Adam Małysz).
Od sezonu 2007/2008 włącznie był członkiem polskiej kadry młodzieżowej w skokach narciarskich.
W oficjalnych międzynarodowych zawodach seniorskich zadebiutował 18 marca 2007 podczas konkursu Pucharu Kontynentalnego na Wielkiej Krokwi w Zakopanem, zajmując 52. miejsce i nie kwalifikując się do drugiej serii. Po raz drugi w Pucharze Kontynentalnym wystąpił 5 stycznia 2008 w Kranju, a były to jego pierwsze zawody seniorskie poza Polską. Po pierwszej turze i skoku na odległość 107 m. zajmował 13. miejsce (najwyższe spośród wszystkich Polaków), jednak tuż po nim został zdyskwalifikowany ze względu na zbyt niską wagę w stosunku do długości nart. Następnego dnia – startując już na krótszych nartach – zajął 7. miejsce, otrzymując łączną notę 254,8 pkt. (po skokach na 107 m i 106,5 m). Były to jego pierwsze punkty (w sumie 36) w zawodach PK. 24 stycznia 2008 – mając 13 lat, 4 miesiące i 24 dni – zadebiutował na zakopiańskiej Wielkiej Krokwi w cyklu Pucharu Świata, stając się tym samym najmłodszym skoczkiem w historii, który został dopuszczony do startu w zawodach najwyższej rangi. W odbywających się tego dnia kwalifikacjach uzyskał jednak zaledwie 88,5 m i zajmując ostatnią pozycję (65. miejsce) nie zakwalifikował się do konkursu głównego. W zawodach FIS Youth w Lahti na skoczni o punkcie K 70 metrów, zajął drugie miejsce. Za skoki na odległość 69,5 i 70 metrów dostał notę łączną 258,1 pkt, i przegrał o 0,2 pkt z Finem Samim Saapunkim.
W sezonie 2009/2010 wystartował w kwalifikacjach do dwóch konkursów Pucharu Świata w Zakopanem. Zajął odpowiednio 58. i 57. miejsce, przez co nie wystąpił w pierwszej serii zawodów. W tym samym sezonie wygrał dwa konkursy FIS Cup w Szczyrku (pierwszy ex aequo z Grzegorzem Miętusem), dzięki czemu został najmłodszym zwycięzcą tych zawodów. W sezonie 2010/11 został powołany na inaugurujące cykl Pucharu Świata zawody w fińskiej Ruce, a także następujące po nich zmagania w Kuopio i Lillehammer. Ani razu nie zdołał zakwalifikować się do konkursu głównego[3].
25 lutego 2012 zdobył z drużyną srebrny medal Mistrzostw Świata Juniorów 2012, a wcześniej zajął szóste miejsce w indywidualnej rywalizacji.
3 marca 2012 roku w konkursie drużynowym Pucharu Świata w Lahti zajął 3. miejsce, skacząc w drużynie z Maciejem Kotem, Aleksandrem Zniszczołem i Kamilem Stochem. Dzień później zdobył swoje pierwsze punkty do klasyfikacji PŚ za 21. miejsce. Później punktował jeszcze dwukrotnie i ukończył sezon na 56. miejscu klasyfikacji generalnej.
Latem 2012 u Murańki wykryto problemy ze wzrokiem. Musiał poddać się serii operacji. Z tego powodu na kilka tygodni przerwał treningi i przez większość sezonu letniego nie uczestniczył w zawodach. Dnia 15 grudnia wystąpił w zawodach pucharu świata w Engelbergu i tam zajął 28. lokatę[4][5]. W Mistrzostwach Świata Juniorów w Narciarstwie Klasycznym 2013 w Libercu zdobył srebrny medal w konkursie indywidualnym[6]. Dwa dni później powtórzył ten wynik w konkursie drużynowym[7]. W 2015 został brązowym medalistą MŚ w Falun w drużynie.
29 stycznia 2021 roku Murańka skoczył 153 metry podczas kwalifikacji do pierwszego konkursu w turnieju Willingen Six i tym samym pobił o jeden metr dotychczasowy rekord skoczni Mühlenkopfschanze w Willingen należący do Janne Ahonena i Jurija Tepeša[8].
10 września 2024 roku ogłosił zakończenie kariery[9].
Falun
Oberstdorf
Harrachov
Tauplitz
Otepää
Erzurum
Val di Fiemme/Predazzo
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
Lahti
Planica
Wisła
Hakuba
Iron Mountain
Ałmaty
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
Lillehammer
Einsiedeln